Probar hay 3 puntos en el círculo del mismo color

Question

Todos los puntos de un círculo son al azar de color rojo o azul. Probar que hay 3 puntos en el círculo del mismo color, que representa un triángulo isósceles.

Answer 1

Sugerencia:

Tomar el Pentágono regular. Los tres puntos son del mismo color.

Answer 2

En la maravillosa solución inteligente dado, empezando por el pentágono, los dos posibles monocromática triángulos no son congruentes. Puede ser interesante tener en cuenta que este es de la necesidad.

Es decir, una $\alpha$-triángulo es un triangulo isoceles en el que los dos lados de igual longitud, se reúnen en un ángulo de $\alpha$.

Fijar un ángulo de $\alpha$. Existe un colorante de los puntos del circulo con dos colores, de tal manera que no $\alpha$-triángulo es monocromática.

Dicen que el círculo es el círculo unitario $S$ en el plano complejo. Dado $\alpha$, existe un complejo número de $\beta$ $|\beta|=1$ tal que los vértices de cualquier $\alpha$-triángulo se $z,\beta z,\beta^2z$ algunos $z$. Para $z\in S$ definir $$C_z=\{\beta^nz:n\in\Bbb Z\}.$$Then the $C_z$ form a partition of $S$; choose a coloring so that $\beta^nz$ and $\beta^{n+1}z$ siempre tienen colores diferentes.

Uy , a Menos que la secuencia de $\beta^n z$ es periódica con período de $k$ $k$ impar. En ese caso color $z,\dots,\beta^{k-1}z$ con la alternancia de colores. ($\beta^{k-1}z$$\beta^{k}z$ Tienen el mismo color, pero no importa, no hay tres consecutivas $n$ que $\beta^nz$ todos tienen el mismo color.) Gracias a stewbasic para darse cuenta de la brecha.

Answer 3

No en cualquier lugar cerca de tan elegante como el de cinco equidistante de punto de prueba, pero he de nueve punto de fuerza bruta prueba.

Premisa: cualquier punto de un círculo que se forma una icoseles triángulo con los puntos colocados en forma equidistante a ambos lados.

Elegir cualquier número de puntos separados por la distancia X.

Si cualquiera de los tres puntos secuenciales son de color rojo (111) o azul (000) luego hay un triángulo isósceles entre esos tres puntos, de longitud 2X. Así que tenemos una secuencia de no más de dos de cada color, cada vez.

Pero por la misma lógica, cualquier secuencia que se repite con periodo P, se tiene un triangulo isoceles por el comienzo de la tercera repetición, de la longitud de 2PX.

Lo que significa que no corta secuencia, posiblemente, puede ser que, cuando se repite, impide que el triángulo.

Así que si encontramos la mayor binario número de hecho de la alternancia (1 o 11) y (0 o 00) donde ningún elemento aparece tres veces separadas por el mismo intervalo de tiempo, y nos encontramos con que es infinitamente largo, entonces tenemos a un ganador. Esto parece poco probable.

Vamos a empezar con todos los 8 posibles combinaciones de "1, (0 o 00), (1, 11), (0 o 00), 1", y agregar más a cada uno hasta que se repita, o que es obvio que no.

1 10101 - repeat, 1x1x1.

2 101001 -
    10100101 -
      101001010 - repeat, xxxx0x0x0.
      101001011 - repeat, xx1xx1xx1.
    10100100 - repeat, x0xx0xx0.
    10100110 - repeat, x0xx0xx0.

3 1011001 -> repeat, 1xx1xx1

4 101101 - 
    10110101 - repeat, xxx1x1x1
    10110100 - repeat, x0xx0xx0

5 100101 - mirror of 101001.

6 1001001 - repeat, 1xx1xx1.

7 1001101 - mirror of 1011001: repeat, 1xx1xx1.

8 10011001 -
    100110010 - repeat, xx0xx0xx0
    100110011 - repeat, 1xxx1xxx1

No hay ningún número binario de más de 9 dígitos en el que ni 1 ni 0 aparece dos veces en un intervalo de tiempo establecido. Lo que significa que la recolección de nueve puntos equidistantes alrededor de la circunferencia es suficiente para demostrar el principio.