Geometría de los espacios de Hilbert

Question

Sólo una pregunta rápida sobre la geometría de los espacios de Hilbert desde un punto de vista intuitivo. Tal vez sólo suponiendo que estamos trabajando con $L^2$ simplificaría la situación. Básicamente, en algo como $\mathbb{R}^2$ tenemos la situación de que $\cos(\theta)=\frac{\langle a,b\rangle}{\vert a\vert\cdot\vert b\vert}$ y la idea de un ángulo entre vectores es muy significativa, geométricamente. Podemos extender fácilmente esta idea a $\mathbb{R}^n$ porque cuando hablamos del ángulo entre dos vectores, queremos decir que estamos eligiendo el plano en el que se encuentran ambos, y escogiendo el vector que se encuentra en él. Pero ¿qué significa esto realmente en un espacio de Hilbert como $L^2$ ? Tengo una buena intuición sobre las funciones, y sobre la geometría (topología) por separado, pero no realmente la "geometría de las funciones".

Ahora bien, puede que no se visualice en $L^2$ y no estoy pidiendo uno, pero ¿tiene algún sentido hacer geometría (es decir, polígonos reales, cosas por el estilo) en un espacio como $L^2$ ? Además, ¿qué tipo de aplicaciones tienen ideas como ésta en el análisis funcional? ¿Nos interesan ideas como "planos" de funciones, polígonos, superficies, sólidos, etc.? ¿Qué entendemos realmente por ángulos, proyecciones, vectores normales? ¿Tienen este tipo de cosas alguna relación interesante?

Estoy pidiendo principalmente una idea intuitiva aquí. Es fácil hacer las cuentas, demostrar teoremas sobre productos internos, normas, etc. ¿Quizás la geometría da algunas pistas o ideas intuitivas al hacer análisis funcional?

Answer 1

Creo que en espacios de dimensión infinita hay que interpretar el ángulo como una medida de lo correlacionadas que están dos funciones. La intuición se manifiesta más claramente cuando las funciones son variables aleatorias de media cero; entonces su producto interior es precisamente su covarianza, que es cero cuando son independientes (es decir, no correlacionadas).

Ciertamente, una de las cosas más importantes de los espacios de Hilbert es que existe una buena noción de proyección, y las cosas que uno esperaría que fueran intuitivamente ciertas sobre la proyección (por ejemplo, que la proyección de un vector sobre un subespacio es la parte del subespacio más cercana al vector) son realmente ciertas porque resulta que el producto interior hace que todo funcione. Así que, en ese sentido, a veces se puede utilizar de forma fiable la intuición finito-dimensional en el caso infinito-dimensional.

Quizá también se pueda extraer una intuición de la mecánica cuántica, donde el producto interior es una "amplitud de probabilidad". Sin embargo, no sé lo suficiente sobre mecánica cuántica como para profundizar en este punto.

Answer 2

Una motivación para la $L^2$ producto interior es el siguiente: Imagina que muestreas tus funciones f y g en N puntos igualmente espaciados, y pones esos valores en vectores $\vec{f}$ y $\vec{g}$ .

Entonces (modulo ciertas suposiciones técnicas) en el límite a medida que se toman más y más muestras, el ángulo entre los vectores de aproximación con un producto punto estándar se aproxima al ángulo entre las funciones con el $L^2$ producto interior.

No es del todo riguroso, pero un modelo mental útil es pensar que cada x diferente en el dominio representa una dirección ortogonal diferente en tu espacio de funciones, y entonces el valor f(x) es la "coordenada" de f en la dirección x.

Answer 3

Supongamos que se trata de un espacio de Hilbert real $X=L^2[0,1]$ . Dos funciones cualesquiera $f,g\in X$ están contenidos en el plano $P$ abarcado por $f,g$ . Este plano es isométricamente isomorfo al espacio euclídeo $\mathbb{R}^2$ Esto significa que $P$ está comprendida entre dos vectores ortonormales $e_1, e_2$ (dos vectores ortonormales cualesquiera), y el mapa lineal $T$ que mapea $e_1$ a $(1,0)$ y $e_2$ a $(0,1)$ preserva la distancia y el producto interior (y, por tanto, también el ángulo). El ángulo entre $f$ y $g$ es precisamente el ángulo entre $Tf$ y $Tg$ sur $\mathbb{R}^2$ .

Si $f, g$ son linealmente independientes, $e_1,e_2$ puede obtenerse a partir de ellas mediante el proceso de Gram-Schmidt, es decir $$ e_1= \frac{f}{\|f\|}, e_2=\frac{g-(e_1,g)e_1}{\|g-(e_1,g)e_1\|}.$$