Ejemplo de convergencia dominada por Lebesgue

Question

¿Cómo puedo utilizar el Teorema de Convergencia Dominada de Lebesgue para evaluar

$$\lim_{n \to \infty}\int_{[0,1]}\frac{n\sin(x)}{1+n^2\sqrt x}dx$$

¿Qué función dominante utilizar aquí?

Answer 1

Tenga en cuenta que $x\in(0,1]$ y $n\geq 1$, tenemos: $$\frac{n\sin(x)}{1+n^2\sqrt{x}} \leq \frac{n}{1+n^2\sqrt{x}} \leq \frac{n}{n^2\sqrt{x}} \leq \frac{1}{n\sqrt{x}} \leq \frac{1}{\sqrt{x}}.$$

Por lo tanto, si $g(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ $0\lt x\leq 1$ y $g(x)=0$ si $x=0$, entonces el $0\leq f_n(x)\leq g(x)$ casi en todas partes en $[0,1]$, donde $fn(x) = \frac{n\sin(x)}{1+n^2\sqrt{x}}$. Desde %#% $ de #% por Teorema de convergencia dominada de Lebesgue sabes que si $$\int g(x)\,d\mu = \int{[0,1]}\frac{1}{\sqrt{x}}\,d\mu= 2\sqrt{x}\Biggm|_0^1 = 2\lt \infty$ es igual al pointwise límite de $f(x)$ casi en todas partes en $fn(x)$, entonces el $[0,1]$ $ para uso de convergencia dominada ahora necesita averiguar un $$\lim{n\to\infty}\int{[0,1]}\frac{n\sin(x)}{1+n^2\sqrt{x}}\,d\mu = \int{[0,1]}f(x)\,d\mu.$.

Answer 2

Considere esto para una solución (no utiliza la convergencia dominada). En $[0,1]$ tenemos la siguiente desigualdad

\begin {Ecuación} 0 \leq \frac {n \sin (x)}{1+ n^2 \sqrt {x}} < \frac {n}{n^2 \sqrt {x}} = \frac {1}{n \sqrt {x}} \end {Ecuación}

Tomar la integral sobre $[0,1]$ en ambos lados, obtenemos

\begin {Ecuación} \int_ {[0,1]} \frac {n \sin (x)}{1+ n^2 \sqrt {x}} < \int_ {[0,1]} \frac {1}{n \sqrt {x}} = \left [ \frac {2 \sqrt {x}}{n} \right ]_0^1 \end {Ecuación}

límite de toma $n \to \infty$ en ambos lados, se puede demostrar que

\begin {Ecuación} \lim_ {n \to \infty } \int_ {[0,1]} \frac {n \sin (x)}{1+ n^2 \sqrt {x}} = 0 \end {Ecuación}

Answer 3

$\newcommand{\angles}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}% \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace #1 \right\rbrace}% \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack #1 \right\rbrack}% \newcommand{\dd}{{\rm d}}% \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}}% \newcommand{\equalby}[1]{{#1 \atop {= \atop \vphantom{\huge A}}}}% \newcommand{\expo}[1]{{\rm e}^{#1}}% \newcommand{\ic}{{\rm i}}% \newcommand{\imp}{\Longrightarrow}% \newcommand{\pars}[1]{\left( #1 \right)}% \newcommand{\pp}{{\cal P}}% \newcommand{\sgn}{{\rm sgn}}% \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}}% \newcommand{\verts}[1]{\left\vert #1 \right\vert}$

$$ 0 < \int_{0}^{1}{n\sin\pars{x} \over 1 + n^{2}\,\sqrt{x\,}}\,\dd x < \int_{0}^{1}{n \over 1 + n^{2}\,\sqrt{x\,}\,}\,\dd x = 2n\int_{0}^{1}{x \over 1 + n^{2}x}\,\dd x = {2 \over n}\,\ln\pars{1 + n^{2}} $$

$$ \lim_{n \to \infty}{2 \over n}\,\ln\pars{1 + n^{2}} = 2\lim_{n \to \infty}{2n/\pars{1 + n^{2}} \over 1} = 0 $$

$$ \lim_{n \to \infty}\int_{0}^{1}{n\sin\pars{x} \over 1 + n^{2}\,\sqrt{x\,}}\,\dd x = 0 $$