Serie geométrica con exp

Question

Encontrar todos los valores de $x$ para que la serie converge y encuentra la suma de la serie de los valores de $x$. $$e^{-11x}+e^{-22x}+e^{-33x}+e^{-44x}+e^{-55x}+\cdots$$

Me di cuenta que yo puedo reescribir esto como $$\sum_{n=1}^{\infty}(e^{-11x})^{n}$ $

Pensé que $r = e^{-11x}$ y $a=1$

Tuve que solucionar para $\left | e^{-11x}\right |<1$, que $x>0$

Sería la suma?: $$\frac{e^{-11x}}{1-e^{-11x}}$ $

Gracias

Answer 1

$\exp$ Es positivo (a menos que tenga una variable compleja), puede bajar el $|.|$. Entonces la condición es $$ e ^ {-11 x} < 1 $$ $\log$ aumenta, esto es equivalente a $$-11 x < 0 \iff x > 0 $$under estas condiciones, el valor de la suma es lo que escribes.