No sé cómo probar lo siguiente:
Que $p \equiv 7 \pmod 8$ ser una privilegiada. Entonces $$\sum\limits_{r = 1}^{\frac{p - 1}{2}}r \left( \frac{r}{p} \right) = 0$$ where $ \left (\right)$ \dfrac{\cdot}{\cdot} es el símbolo de Legendre.
¿Alguien me podria ayudar a contestar esta pregunta?
Ahora tengo una completamente primaria de la prueba. Pensé que me diría que un poco acerca de cómo me encontré con esto. Yo sospechaba que la única relevante de las propiedades de los números primos que se $7 \mod 8$ que $2$ es un QR y $-1$ no lo es. Usando estos dos hechos me dio toneladas de relaciones entre las sumas de Legnedre símbolos, pero yo estaba perdido en un montón de relaciones sin ser capaz de seleccionar la que más me necesitaba. Corté el desorden de dos maneras: (1) yo estaba con frecuencia romper mi resume en partes. Decidí que era sólo va a romper el set $\{ 1,2, \ldots, p-1 \}$ en cuatro trozos, no más, y seguir esa línea hasta el final. Si no, me gustaría volver y probar más piezas. (2) Dado que todas las relaciones que se encontraba fuera lineal, no tengo que tratar de encajar en una cadena lógica. Yo sólo tenía que escribir todo lo que sabía, y lo que yo quería concluir; era entonces una cuestión de mecánica álgebra lineal si o no mi givens implícitas mi conclusión.
Por lo tanto, vamos partición $\{ 1,2, \ldots, p-1 \}$ a $4$ conjuntos. Un elemento $r$ está en
Para $X$ uno de los conjuntos $A$, $B$, $C$, $D$, escribir $S(X)$ $\sum_{r \in X} \left( \frac{r}{p} \right)$ y escribir $T(X)$$\sum_{r \in X} r \left( \frac{r}{p} \right)$. Tenemos las siguientes relaciones (ejercicio!) $$ \begin{array}{r@{}c@{}lr@{}c@{}l} S(D)&=&-S(A) & T(D) &=&- (p S(A) - T(A)) \\ S(C)&=&-S(B) & T(C)&=&- (p S(B) - T(B)) \\ S(A)+S(B)&=&S(B)+S(D) &2(T(A)+T(B)) &=& T(B)+T(D) \end{array}$$
La izquierda tres ecuaciones implican que $(S(A), S(B), S(C), S(D)) = (0,h,-h,0)$ algunos $h$. A continuación, a la derecha tres implica que $(T(A),T(B),T(C),T(D)) = (x,-x,-x-ph,x)$ algunos $x$. Nada de esto requiere pensamiento creativo; acabo de encontrar el núcleo de una $6 \times 8$ matriz.
Su conclusión deseada es $T(A)+T(B)=0$, lo que vemos es cierto. La igualdad entre Dirichlet expresiones del es $S(A)+S(B) = -(1/p) (T(A)+T(B)+T(C)+T(D))$, que también podemos ver que es verdad.
Puesto que usted nota que usted está haciendo esto como un ejercicio de un libro, me imagino que usted podría como un indicio más de una prueba. Mira las siguientes dos fórmulas, tanto por Dirichlet: $$L(1) = - \frac{\pi}{\sqrt{q}} \sum_{n=1}^{q-1} \frac{n}{q} \left( \frac{n}{q} \right).$$ $$L(1) = \frac{\pi}{\sqrt{q} \left(2-\left( \frac{2}{q} \right) \right) } \sum_{n=1}^{(q-1)/2} \left( \frac{n}{q} \right)$$
La configuración de estas dos fórmulas iguales el uno al otro y hacer un poco de primaria manipluation dará su resultado.
Las pruebas de estas dos fórmulas se pueden encontrar en el Capítulo 1 de Davenport Multiplicativo de la Teoría de números, disponible en línea a través de la búsqueda de libros de google. Apostaría a que es posible eliminar la infite de la serie y dar una prueba directa de la igualdad de los dos lados, pero yo no lo veo justo ahora.
Gracias por la ayuda. Tengo una prueba ahora. Desde $p\equiv7\mod 8$, $(\frac{-1}{p}) = -1$ y $(\frac{2}{p}) = 1$. Por lo tanto tenemos $$\sum\limits_{{1\leq r\leq p - 1}}r(\frac{r}{p}) = \sum\limits_{1\leq r\leq \frac{p - 1}{2}}2r(\frac{r}{p}) - \sum\limits_{1\leq r\leq \frac{p - 1}{2}}(p - 2r)(\frac{r}{p}) = \sum\limits_{1\leq r\leq \frac{p - 1}{2}}(4r - p)(\frac{r}{p})$ $ y $$\sum\limits_{1\leq r\leq p - 1}r(\frac{r}{p}) = \sum\limits_{1\leq r\leq\frac{p - 1}{2}}r(\frac{r}{p}) - \sum\limits_{1\leq r\leq\frac{p - 1}{2}}(p - r)(\frac{r}{p}) = \sum\limits_{1\leq r\leq \frac{p - 1}{2}}(2r - p)(\frac{r}{p})$ $ por lo tanto, $\sum\limits_{1\leq r\leq \frac{p - 1}{2}}r(\frac{r}{p}) = 0$.
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