La desigualdad (7) es delicada. $\log x!-\log\Gamma(x)$ es un un poco más grande que $2\log (x/2)!-2\log\Gamma(x/2+1/2),$ lo que hace que el límite inferior sea ajustado. $\log\Gamma(x+1)$ no es diferente de $\log x!$ por lo que confía en $2\log\Gamma(x/2+1/2)$ siendo un poco menos que $2\log(x/2)!$ para alcanzar el límite superior.
En (8) se refiere a la aproximación de Stirling para los límites en (7), por lo que puede haber un elemento de conveniencia computacional en la elección 1/2. Una vez que establece el límite numérico en (8),(9) no tiene más uso para el $\log\Gamma$ utilizadas en (7).
Puede haber espacio para una constante distinta de 1/2, pero cualquier cosa que hagas tendrá un efecto en ambos extremos. $2\log\Gamma(x/2+3/4)$ podría estar más cerca y ser menor que $2\log(x/2)!$ pero ¿se mantendrá la desigualdad de la izquierda? Parece que no.
No estoy seguro de si 1/2 es óptimo, pero supongo que sí. Cuando se examina el comportamiento asintótico de $\log\Gamma$ la derivada se vuelve importante. La pregunta 94582, aunque no puedo enlazarla en este momento, se refería a esta propiedad. El factor 1/2 en el argumento de $\log\Gamma$ (y 2 fuera de ella) hacen que sea algo a comprobar como explicación de la elección de 1/2.
Edición: A la luz de este pregunta parece que $1/2$ es necesario para dar el comportamiento asintótico deseado a los h.l. y h.r. Para completar:
$PG(x) :=$ Polygamma(x). A partir de (7):
$$\ln\Gamma(x) -2\ln\Gamma\left(\frac{x+1}{2}\right)\leq \cdot \leq \ln\Gamma\left(x+1\right)-2\ln\Gamma\left(\frac{x+1}{2}\right) $$
$$\frac{d}{dx}\left(\ln\Gamma(x)-2\ln\Gamma\left(\frac{x+1}{2}\right)\right)= PG(x)-PG\left(\frac{x+1}{2}\right)\sim \ln 2^-$$
$$\frac{d}{dx}\left(\ln\Gamma\left(x+1\right)-2\ln\Gamma\left(\frac{x+1}{2}\right)\right)= PG\left(x+1\right)-PG\left(\frac{x+1}{2}\right)\sim \ln 2^+$$
Así que $\log[x]! -2\log[x/2]!$ está atrapado entre dos funciones que se acercan $\log 2$ desde arriba y desde abajo. La 1/2 es de $\frac{x+1}{2}$ y es esencial para los límites asintóticos.
