Fourier transforma en el círculo

Question

He estado estudiando la transformada de Fourier de Riemann Colectores. Tengo la idea general (creo) y empecé tratando de definir una transformada de Fourier en el círculo, $S^1$. He encontrado que este resultado ya es conocido: $$F(n)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(\theta)e^{-in\theta}d\theta,$$ el mismo resultado que obtuve. Pero entonces me confundí... Sería la inversa de la transformada de Fourier ser: $f(\theta)=\sum_{n\in\mathbb Z}^\infty F(n) e^{in\theta}$?

Si es así, si el círculo no tiene unitario de la radio, pero algunos de valor de $R\in \mathbb R$ me imagino que en la definición de la transformada de Fourier tendría que cambiar $d\theta \to Rd\theta$...es esto correcto? ¿Y qué acerca de la inversa de la transformada de Fourier?

Answer 1

Una manera de pensar acerca de la FT en el círculo es que es realmente el pie de una función periódica. Vamos a pensar en los PIES de una función de $f$ que tiene el período de $p$. Podemos escribir $f$

$$f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f_0(x+n p)$$

donde

$$f_0(x) = \begin{cases} \\ f(x) & |x|<p/2 \\ 0 & |x| > p/2\end{cases}$$

Podemos reescribir esta expresión para $f$ como una convolución:

$$f(x) = f_0(x) \otimes \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(x+n p) $$

donde $\delta$ es la función delta de Dirac y $\otimes$ denota la convolución. La serie de funciones delta en el derecho es conocido como un peine función. Luego podemos encontrar a los PIES de $f$, $\hat{f}$:

$$\hat{f}(k) = \int_{-\infty}^{\infty} dx \: f(x) \,e^{i k x}$$

por el teorema de convolución. Tenga en cuenta que los PIES de la cresta de la función es otra función peine; el resultado es

$$\hat{f}(k) = 2 \pi \hat{f_0}(k) \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(p k - n) = \frac{2 \pi}{p} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \hat{f_0}\left(\frac{n}{p}\right) \delta\left(k-\frac{n}{p}\right) $$

El último paso los resultados del muestreo de la propiedad de delta funciones. Tomando la inversa PIES nos da una nueva representación para $f$:

$$f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{1}{p} \hat{f_0}\left(\frac{n}{p}\right) \exp{\left(i \frac{n x}{p}\right)}$$

y, desde arriba,

$$\frac{1}{p} \hat{f_0}\left(\frac{n}{p}\right) = \frac{1}{p} \int_{-p/2}^{p/2} dx \: f_0(x) \exp{\left(i \frac{n x}{p}\right)}$$

Ahora, finalmente, para responder a su pregunta: el período de $p$ es indicativo de un mapa a partir de un círculo de la circunferencia de la $p$ para el intervalo de $x \in [-p/2,p/2)$. A partir de lo anterior, los coeficientes de una serie de Fourier son simplemente los PIES de un único período de la función periódica. Por lo tanto, la inversa de la transforma para el círculo y la línea real son uno y el mismo.

Answer 2

En general, existe un teorema de Pontryagin para localmente compacto abelian grupos.

El doble de $\mathbb R$, es decir, el grupo de todo el continuo de los mapas de $\mathbb R \to \mathbb U$$\widehat{\mathbb R} \simeq \mathbb R$.

Para el círculo de $\widehat{\mathbb U} = \mathbb Z$.

Y aquí va la definición general de la transformada de Fourier. Deje $f \in \mathrm L^2(\mathrm G)$ $\mathrm G$ localmente compacto grupo abelian, para $\chi \in \widehat{\mathrm G}$, $$ \widehat{f}(\chi) = \int_{g \in \mathrm G} f(g) \overline{\chi(g)} d\mu$$ donde $d\mu$ es una medida de Haar en $\mathrm G$.

Con esto, a recuperar todos los teoremas conocidos por la transformada de Fourier en $\mathbb R$. Especialmente la de Fourier Inversa es $$ \hat{h}(g) = \int_{\chi \in \widehat{\mathrm G}} h(g) \chi(g) d\mu$$.

Esto explica por qué en un caso se tiene una integral en $\mathbb R$ (para la transformada de Fourier en $\mathbb R$) y en el otro caso, usted tiene una serie (para la transformada de Fourier en el círculo).