Un problema curioso con sorprendente similitud a L ' Hospital ' s regla

Question

Tengo este problema, en un libro "Un Problema Seminario" por Donald J. Newman que llamó mi atención. Estoy tratando de encontrar una solución y, por tanto, si es posible, por favor proporcione un toque único tipo de solución.

Deje $f, g$ ser diferenciable en a $(0, 1]$ $g'(x) > 0$ todos los $x \in (0, 1]$ y además vamos a $f'(x)/g'(x)$ tienden a un límite (en sentido amplio) como $x \to 0^{+}$. Demostrar que $f(x)/g(x)$ también tiende a un límite (en sentido amplio) como $x \to 0^{+}$.

Por la existencia de límite en sentido amplio quiero decir que el límite es un número real o es infinito, pero en cualquier caso la función no oscila.

Actualización: parece que el requisito de $g'(x) > 0$ es redundante. Esto es debido a que $f'(x)/g'(x)$ se define como $x \to 0^{+}$ y, por tanto, $g'(x)$ no es cero y por intermedio de valor propiamente de derivados $g'(x)$ mantiene una constante signo $x \to 0^{+}$.

Actualización: La condición de $g'(x) > 0$ es más para el no-fuga de derivados $g'$ y esto también asegura que el $g$ es no-fuga y por lo tanto ambos $g', g$ son de signo constante (a través de intermedios valor de la propiedad). Luego tenemos la $(f/g)' = (g'/g)(f'/g' - f/g)$ y por lo tanto si $f'/g' < f/g$ $x \to 0^{+}$ o $f'/g' > f/g$ $x \to 0^{+}$ $f/g$ es monotono y por lo tanto tiene un límite (en sentido amplio).

El caso difícil es cuando hay infinitamente muchos de los valores de $x$ $x \to 0^{+}$ que $f'/g' < f/g$ y hay infinitamente muchos de los valores de $x$ que $f'/g' > f/g$. En este caso supongo (pero no seguro), la $f/g$ permanece cerca de $f'/g'$, y la de ambos tienden al mismo límite. Me pregunto si este razonamiento es correcto. Parece que este razonamiento es correcto, después de todo. Ver mi respuesta.

Otro razonamiento que va de esta. Desde $g$ es monótono y constante signo de ello se sigue que $g$ tiende a un límite en el sentido extenso. Si este límite es infinito, sabemos por una versión de L'Hospital de la Regla de que $f/g$ tiende a mismo límite que el de $f'/g'$. Si $g$ tiende a un límite finito (incluyendo $0$), entonces tenemos que mostrar que en este caso $f$ también tiende a un límite en el extendido y, por tanto, $f/g$ tiende a un límite en sentido amplio.

Answer 1

Finalmente he encontrado una solución a mí mismo. Estoy asumiendo la siguiente definición de límite de una función.

Deje $f$ ser definida en un cierto eliminado barrio de $a$. A continuación, $f(x) \to L$ $x \to a$ si para cualquier número arbitrario $\epsilon > 0$ hay un número $\delta > 0$ tal que $$|f(x) - L| < \epsilon$$ whenever $0 < |x - a| < \delta$.

Así, una pre-condición para la existencia del límite de $f(x)$ $x \to a$ es que la función de $f$ debe ser definida en un cierto eliminado barrio de $a$.

Si aceptamos esta definición, la restricción $g'(x) > 0$ es redundante en la pregunta.

Así que parafraseando a la pregunta:

Deje $f, g$ ser diferenciable en a $(0, 1]$ y deje $f'(x)/g'(x)$ tienden a un límite de $x \to 0^{+}$. Entonces demostrar que $f(x)/g(x)$ también tiende a un límite de $x \to 0^{+}$.

Desde $f'(x)/g'(x)$ tiende a un límite de $x \to 0^{+}$ se sigue que $g'(x)\neq 0$ al $x \to 0^{+}$ y por intermedio valor de la propiedad significa que $g'(x)$ es de signo constante como $x \to 0$. Y, por tanto, $g(x)$ debe tener signo constante como $x \to 0^{+}$. Y la relación de $f(x)/g(x)$ se define como $x \to 0^{+}$. Tenemos $$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{g'(x)}{g(x)}\left(\frac{f'(x)}{g'(x)} - \frac{f(x)}{g(x)}\right)$$ If the difference $$\frac{f'(x)}{g'(x)} - \frac{f(x)}{g(x)}$$ maintains a constant sign as $x \a 0^{+}$ then it means that $f(x)/g(x)$ es monotono y por lo tanto tiende a un límite.

Si esta diferencia cambia de signo infinitamente muchas veces como $x \to 0^{+}$ significa que derivado de la $f(x)/g(x)$ cambia de signo infinidad de veces y por lo tanto nos lleva a máximos y mínimos de $f(x)/g(x)$ y en estos puntos $f'(x)/g'(x) = f(x)/g(x)$. Desde $f'(x)/g'(x)$ tiende a un límite que se deduce que los valores de $f(x)/g(x)$ en los puntos críticos también tiende a mismo límite y por tanto todos los valores intermedios de $f(x)/g(x)$ tienden al mismo límite.

En todos los casos así, podemos ver que $f(x)/g(x)$ tiende a un límite.