¿Si $a^b=c^d$ y $c$ y $a$ son potencias de la misma cantidad?

Question

Quiero saber en que situaciones de dos números que se pueden expresar como potencias puede ser igual. Creo que es intuitivo que si dos poderes (decir $a^b$$c^d$) son iguales, entonces las bases deben ser ellos mismos poderes de un único número natural (es decir $a=m^k$$c=m^l$, por lo que el $m^{kb}=m^{ld}$, e $kb=ld$). Pero estoy teniendo un duro momento de probarlo.

Mi planteamiento es el siguiente: factor I $a$ $c$ en factores primos y escribir la ecuación de $a^b=c^d$ como: $$\left({p_1}^{a_1} {p_2}^{a_2} \cdots {p_n}^{a_n}\right)^b=\left({p_1}^{c_1} {p_2}^{c_2} \cdots {p_n}^{c_n}\right)^d$$ (donde $p_1=2$, $p_2=3$, $p_3=5$, etc son los números primos) que se convierte en el siguiente sistema: $$a_1 b = c_1 d \\ a_2 b = c_2 d \\ \vdots \\ a_n b = c_n d$$ Quiero demostrar que los vectores $\left[a_1,a_2,\ldots,a_n\right]$ y $\left[c_1,c_2,\ldots,c_n\right]$ ambos son múltiplos enteros de algún otro vector. Es correcto asumir que el mdc de boths listas de $1$, porque si, por ejemplo, $\mathrm{mdc}\left\{a_1,a_2,\ldots,a_n\right\}=k>1$, entonces podríamos factor $k$ de la $a_j$'s e incorporarlo a $b$ (este es el mismo como la reducción de la $a^b$$m^{kb}$). Suponiendo que el mdc se $1$, quiero demostrar que los vectores $a$ $c$ son iguales.

No tengo a dónde ir desde aquí. Que puedo hacer en el caso de que el mdc son pares $1$ , $\mathrm{mdc}\left\{a_1,a_2\right\}=\mathrm{mdc}\left\{a_1,a_3\right\}=\cdots=\mathrm{mdc}\left\{a_{n-1},a_n\right\}=1$, pero no en el caso general.

Answer 1

Alternativamente, primero vamos a probar el siguiente reclamo. Deje $x,y,p,q\in\mathbb{N}$ ser tal que $\gcd(p,q)=1$$x^p=y^q$. Entonces, existe $u \in \mathbb{N}$ tal que $x=u^q$$y=u^p$.

Prueba: Como $\gcd(p,q)=1$, $r,s\in\mathbb{Z}$ tal que $pr+qs=1$. Por lo tanto, $x=x^{pr+qs}=x^{pr}x^{qs}=\left(x^p\right)^rx^{qs}=\left(y^q\right)^rx^{qs}=\left(x^sy^r\right)^q$. Tome $u:=x^sy^r$, que es un número racional. A continuación, $x=u^q$$y=u^p$. Desde $x$ es un número entero, $u$ también debe ser un número entero (hay varias formas de mostrar esto, la más sencilla de todas las que conozco que $z=u$ es una raíz racional de $z^q-x$, y por el Racional de la Raíz Teorema, llegamos a la conclusión de que $u\in\mathbb{Z}$). Q. E. D.

Ahora, vamos a $k:=\gcd(b,d)$. De$a^b=c^d$,$a^{b/k}=c^{d/k}$. Como $\gcd\left(\frac{b}{k},\frac{d}{k}\right)=1$, por la reclamación, no existe $e\in\mathbb{N}$ tal que $a=e^{d/k}$$c=e^{b/k}$.

Answer 2

Veamos caso por caso

1. Cualquiera de las $b$ divide $d$ ( o $d$ divide $b$, que es similar ), entonces obtenemos $a_i=\frac{d}{b}c_i$. Por lo tanto su demanda es satisfecha como para que el vector de $v=[c_1,c_2..c_n]$ su vector de $a=\frac{d}{b}v$$c=v$.
2. $b$ $d$ co-primos, a continuación, $a_i=k_id$ $c_i=k_ib$ (aquí se $k_i$ son enteros ). De nuevo su demanda es satisfecha como para que el vector de $v=[k_1,k_2...k_n]$ sus vectores $a=dv$$c=bv$.
3. Ni divide los otros, pero su mcd es 1 ( es decir, que no son co-primos ). Digamos que mcd($b,d$)=$q$. Por lo $\frac{b}{q}$ $\frac{d}{q}$ co-primos. Ahora, de nuevo esto es similar a la del caso 2 como $a_i=k_i\frac{d}{q}$ $c_i=k_i\frac{b}{q}$ ( similar a la del caso 2 se puede encontrar el vector $v=[k_1,k_2...k_n]$ y vectores $a=\frac{d}{q}v$$c=\frac{b}{q}v$ ).
   Como estos 3 casos son los únicos casos posibles ( también hay dos casos que pueden ocurrir a la vez ) su reclamo está probado.
   Espero que ayude.

Answer 3

Observa el hecho de que el mcd (es decir, del mdc) de los números de $a_i$$c_i$. La clave aquí es notar que $b$ $d$ también puede ser asumido relativamente primos (si se tiene mcd igual a $k$, luego tomar la $k$th raíz de ambos lados de $a^b = c^d$ a reducir, para el caso de que los exponentes son relativamente primos.)

Ahora, el hecho clave es conocido como Euler Lema: si $b$ $d$ son relativamente primos y $b$ se divide en partes iguales en $md$, $b$ es un divisor de a $m$.

En este supuesto, nos encontramos en $a_i b = c_i d$ que $b$ es un divisor de a $c_i d$, así que por Euler Lema es divisor de a $c_i$ todos los $i$. Del mismo modo, $d$ es un divisor de a $a_i$ todos los $i$. Dividiendo todas las ecuaciones $a_i b = c_i d$$b$, nos encontramos con $a_i = e_i d$ para algunos enteros $e_i$. Sustituyendo esto en $a_i b = c_i d$ y dividiendo por $d$, encontramos así que el $c_i = e_i b$ todos los $i$. Por lo tanto, los vectores $[a_1, \ldots, a_n]$ $[b_1, \ldots, b_n]$ ambos son múltiplos de $[e_1, \ldots e_n]$.