Puesto que la aritmética tiene un modelo (por lo tanto es constante) ¿por qué importa si consistencia puede ' t ser probada?

Question

Puesto que la aritmética tiene un modelo, los números como lo conocemos, es consistente. ¿Por qué nos importa si la consistencia no puede demostrarse dentro de aritmética? ¿Me pierdo algo, es decir, en lo que podemos considerar un modelo?

Answer 1

Esta es una buena pregunta. La respuesta viene en dos partes.

Matemáticamente es más importante que entendamos que el $\sf PA$ es incompleta. Por lo que siempre habrá declaraciones verdaderas que no podemos demostrar de $\sf PA$. Y que cualquiera que sea la teoría razonable (lea: cumple la condición de que el segundo teorema de la incompletitud) utilizamos como fundacional de la teoría es también incompleta.

Esta es una importante comprensión, y la declaración "$T$ es coherente" para lo que sea adecuado a $T$ es un excelente ejemplo de este fenómeno de incompletitud.

Más específicamente, las declaraciones acerca de la consistencia de las teorías que nos permiten establecer un orden entre las teorías. Una teoría es más fuerte que la otra, si se demuestra su consistencia.

Es cierto que $\sf PA$ es consistente si asumimos que $\sf ZFC$ es consistente. Pero, ¿qué acerca de la $\sf ZFC$ ahora? Por lo tanto, trabajar en $\sf ZFC$ extendido por otros axiomas, entonces, ¿qué acerca de los axiomas? son coherentes? Por lo tanto, añadir más y más y más, y esto se convierte en un gato y un ratón de juego.

El camino fácil es decir que, simplemente, "la manipulación de cadenas", pero esto es sólo una manera de decir que trabajamos dentro de una teoría que es de alguna subteoría de $\sf PA$ que puede internalizar la lógica. Entonces, ¿por qué es que la teoría consistente de nuevo?

Así que tenemos algún tipo de infinito descenso de aquí, que no es lo ideal. El segundo teorema de la incompletitud nos dice que este descenso es de hecho infinito. Cualquiera que sea la teoría que tiene, si es lo suficientemente bueno para un equipo para tener una prueba del comprobador de algoritmo para la teoría, y que se puede hacer "suficiente" de la aritmética, entonces, que no puede probar su propia consistencia.