Yo realmente apreciaría si usted me podría dar algunos consejos sobre la parte (a) del Ejercicio 13 del primer capítulo de Walter Rudin del libro "Análisis Funcional":
Deje $C$ ser el espacio vectorial de todas las complejas funciones continuas en $[0, 1]$. Definir \begin{equation} d(f,g) = \int_0^1 \frac{\lvert f(x) - g(x) \rvert}{1 + \lvert f(x) - g(x) \rvert} \ dx \ . \end{equation} Deje $(C, \sigma)$ $C$ con la topología inducida por la métrica. Deje $(C, \tau)$ ser el espacio vectorial topológico definido por el semi-normas \begin{equation} P_x(f) = \lvert f(x) \rvert, \qquad (0 \leq x \leq 1), \end{equation} Demostrar que todos los $\tau$acotado establece en $C$ $\sigma$acotado y que el mapa de identidad $id: (C, \tau) \rightarrow (C, \sigma)$, por lo que conlleva delimitada conjuntos de conjuntos acotados.
He intentado utilizar el teorema que dice que un conjunto a $E \subseteq C$ es acotado si y sólo si cada semi-norma en nuestro semi-normas está delimitada en $E$. Este teorema nos dice que si $E$ ser un conjunto acotado en $(C, \tau)$, a continuación, para cada $x \in [0, 1]$, $P_x(E)$ es acotado, es decir, \begin{equation} \forall x \in [0, 1] \ \exists M_x, \quad s.t. \quad \forall f \in E, \quad \lvert f(x) \rvert \leq M_x \ . \end{equation} Creo que ahora deberíamos usar el Uniforme de acotamiento principio y obtener un $M > 0$ tal que \begin{equation} \forall x \in [0, 1] \ \forall f \in E, \quad \lvert f(x) \rvert \leq M \ . \end{equation} Luego tenemos a $d(f, 0) \leq \frac{M}{1+M}$ todos los $f \in E$. Por lo $E$ está delimitado en $(C, \sigma)$.
En el último paso, el uso de Uniforme acotamiento principio, creo que debemos demostrar que $(C, \tau)$ es un espacio de Banach, y $(C, \sigma)$ una normativa espacio. No sé lo que debo hacer en este paso.
