Al considerar los espacios de Sobolev como complementos, ¿cómo surge la noción de derivada débil?

Question

Supongamos que en lugar de definir los espacios de Sobolev $W^{k,p}(\Omega), \Omega\subset\Bbb R^n$ como el espacio de funciones cuya norma de Sobolev (con derivadas débiles) es finita, lo definimos como la terminación del subconjunto de $C^\infty(\Omega)$ funciones cuya norma de Sobolev es finita (llámese $C^{k,p}(\Omega)$ ). Por un teorema de topología, estos espacios son homeomórficos, ya que $C^{k,p}(\Omega)$ es denso en ambos $W^{k,p}(\Omega)$ y $\text{comp}(C^{k,p}(\Omega))$ . Así que aunque estas construcciones son equivalentes... no está muy claro.

Por ejemplo, no está claro qué $Df$ se supone que significa, cuando $f$ es una clase de equivalencia de las secuencias de Cauchy en $C^{k,p}(\Omega)$ . (Tampoco sé cómo interpretar la clase equivalente como una función $f:\Omega\to\Bbb R$ en primer lugar. Imagino que es una clase de equivalencia de funciones que concuerdan a.e. de alguna manera). En el punto de vista "estándar", tenemos que $Df$ es sólo la derivada débil. Entonces, ¿cómo se interpreta lo que $Df$ significa en el punto de vista de la terminación, y se puede demostrar que $\int Df\varphi=-\int fD\varphi$ , $\forall \varphi\in C^1_0(\Omega)$ ¿Igual que para los derivados débiles?

Si esto tiene sentido para $\Bbb R^n$ Entonces me gustaría entenderlo en los colectores. El punto de vista de la terminación parece ser dominante en la literatura del análisis geométrico, pero nadie explica qué $\nabla f$ se supone que es en realidad. En Chavel ( Eigenvales en Riem. Geo. ), encontramos:

Dada una función $f\in L^2(M)$ decimos que $Y\in\mathscr L^2(M)$ es un derivado débil de $f$ si $$\int_M\langle Y,X\rangle=-\int_M f\operatorname{div}(X)$$ para todos los soportes compactos $C^1$ campos vectoriales $X$ .

(Aquí $\mathscr L^2(M)$ son los campos vectoriales cuadrados integrables).

Ahora bien, este punto de vista es algo diferente del habitual de las EDP, ya que utilizamos campos vectoriales con soporte compacto... pero supongo que esto es sólo un reflejo del hecho de que $\partial f/\partial x^i$ no tiene ningún significado intrínseco en un colector.

Busco que alguien me aclare mis dudas aquí, o que dé una buena referencia sobre este tema.

Answer 1

En primer lugar, hay que separar el concepto de finalización de la prueba de su existencia (construcción mediante secuencias de Cauchy). Una terminación es simplemente un espacio métrico completo $W^{k,p}$ que contiene (una copia isométrica de) $C^{k,p}$ como subconjunto denso. Como alternativa, se puede utilizar la siguiente propiedad universal para definirlo:

cualquier función uniformemente continua $f \colon C^{k,p} \to N$ a cualquier espacio métrico completo $N$ tiene una única extensión uniformemente continua $\bar{f} \colon W^{k,p} \to N$ .

Por ejemplo, la finalización de $\mathbb{Q}$ es $\mathbb{R}$ pero, por lo general, no tenemos problemas con la intepretación de elementos de $\mathbb{R}$ como números. ¿Por qué? Porque podemos extender las operaciones algebraicas sobre $\mathbb{Q}$ a las operaciones en $\mathbb{R}$ .

Técnicamente hablando, los elementos de $W^{k,p}$ en general no son funciones, al igual que ocurre con $L^p$ . La razón de esto es que no hay una forma significativa de definir $f(x)$ para la elección $x \in \Omega$ . Si $f$ es fijo, el teorema de diferenciación de Lebesgue establece que $f$ es aproximadamente continua en a.e. $x \in \Omega$ y así podemos dar sentido a $f(x)$ pero el conjunto de puntos admisibles $x$ depende de $f$ . También cabe mencionar que si el producto $k \cdot p$ es mayor que la dimensión del dominio (o si $k$ es igual a la dimensión), los elementos de $W^{k,p}$ pueden representarse mediante funciones continuas y $f(x)$ tiene mucho sentido: el mapa de evaluación $$ W^{k,p} \ni f \mapsto f(x) $$ es continua para cada $x \in \Omega$ .

Sin embargo, algunas otras operaciones útiles sobre funciones están bien definidas en $L^p$ como la integración: $$ L^p(\Omega) \ni f \mapsto \int_D f, \quad \text{if } D \subseteq \Omega, $$ o la multiplicación por funciones acotadas. Por supuesto, esto también se puede hacer para $W^{k,p}$ .

¿Qué son los derivados débiles? Obsérvese que la operación de tomar el gradiente clásico $$ C^{1,p} \ni f \mapsto \nabla f \in L^p $$ es uniformemente continua; recuerde que $C^{1,p}$ se considera con norma de Sobolev. Por lo tanto, podemos extenderlo de forma continua a $W^{1,p}$ como su terminación, definiendo el gradiente débil $\nabla f$ . Esto debería responder a una de sus preguntas.

Puedes ver fácilmente que esto coincide con la definición que has mencionado. Tome cualquier $\varphi \in C_c^\infty(\Omega,\mathbb{R}^n)$ y definir la función lineal $S_\varphi \colon W^{1,p}(\Omega) \to \mathbb{R}$ por $$ W^{1,p}(\Omega) \ni f \mapsto \int \nabla f \varphi + \int f \operatorname{div} \varphi. $$ Dado que las operaciones de tomar el gradiente débil, multiplicar por una función acotada e integrar están bien definidas y son continuas (en los respectivos espacios y normas), $S_\varphi$ es continua. Por otro lado, $S_\varphi(f) = 0$ para todos $f \in C^{1,p}$ que es un subconjunto denso. Por lo tanto, $S_\varphi \equiv 0$ y obtenemos la otra definición: $$ \int \nabla f \varphi = - \int f \operatorname{div} \varphi \quad \text{for } f \in W^{1,p}(\Omega). $$