Relativa contables débiles$^{\ast}$ compacidad y secuencias

Question

Me estoy encontrando serias dificultades en la comprensión de algunas cosas acerca de la relación contable de la compacidad y el uso de secuencias de probarlo por mi análisis funcional de texto, la prueba de Kolmogorov-Fomin.

Por ejemplo, aquí en el corolario 2, se dice que un subconjunto del espacio de $E^{\ast}$ conjugado a un separable espacio de Banach $E$ es acotado si es relativamente countably compacto (como en la definición 5 aquí) en los débiles$^{\ast}$ topología como una consecuencia del teorema 2' aquí. Me gustaría entender por qué, si $M$ no está limitado, no puede ser relativamente countably compacto, pero desde teorema 2 " yo sólo se que, si $\{f_n\}_n$ es no acotado, entonces no es débilmente$^{\ast}$ convergentes: ¿cómo puede demostrar que cualquier subconjunto infinito de $M$ tiene un punto de acumulación?

Mi libro, sin dar una prueba y tratarla como trivial, podría parecer que el tratamiento contable de la compacidad en los débiles$^{\ast}$ topología equivalente al hecho de que cualquier secuencia tiene una débil$^{\ast}$-convergente larga, pero, si es verdad, soy demasiado estúpido para ver como trivial, aunque no estoy seguro de que es cierto...

Si $M$ eran un subconjunto de un espacio métrico me gustaría saber que $x$ sería un punto de acumulación de a $M$ si y sólo si fuera el límite de una eventual no constante de la secuencia de los puntos pertenecientes a $M$, pero $E^{\ast}$ con los débiles$^{\ast}$ topología no es un espacio métrico (a pesar de una esfera centrada en 0 es metrisable, pero, si no tenemos a priori sabemos que un subconjunto $M$ es limitada...).

También creo que, gracias a qué, y a quién ha escrito qué, he leído por aquí, que si $E$ es una de Banach separable espacio, a continuación, todos los relativamente débiles$^{\ast}$-subconjunto compacto de $E^{\ast}$ es relativamente secuencialmente débiles$^{\ast}$-compacto (definición como aquí), pero aquí sólo tenemos contables débiles$^{\ast}$-compacidad... , en relación contables débiles$^{\ast}$-compacidad implica la relación secuencial débiles$^{\ast}$-compacidad? Si lo hace, veo que si $M$ no está delimitado, y el infinito, podemos elegir entre una secuencia $\{f_n\}$ (incluso tal que $\forall i\ne j\quad f_i\ne f_j$, si lo deseamos) tal que $\|f_n\|\to+\infty$, lo que, por el teorema 2', no tendrá ningún convergente larga. Entonces, si la relación contables débiles$^{\ast}$-compacidad implícita relativa secuencial débiles$^{\ast}$-compacidad, $M$ podría no ser countabye débiles$^{\ast}$-compacto, de modo que "sólo si la parte" de corolario 2, que es lo que causa algunos problemas a mí, tendría que ser probada. Pero estoy lejos de ser convenció de que dicha implicación es verdadera...

Yo uncountably gracias por la ayuda! ;-)

Answer 1

Estoy de acuerdo en que el libro debería haber explicado Corolario 2 un poco mejor, como usted ha explicado.

Sin embargo, podemos probar Corolario 2 por contradicción (como lo que me di cuenta, este libro no uso de Banach-Steinhauss/Uniforme Acotamiento Principio, la que yo uso): Supongamos $M$ es una desenfrenada rcc (relativamente countably compacto). Deje $(f_n)_{n=1}^\infty\subseteq M$$\Vert f_n\Vert\to\infty$. Desde $(f_n)$ no es la norma acotada en $E^*$, el Acotamiento Uniforme Principio implica que no es pointwise acotado, de modo que existe $x\in E$$\sup_{n\in\mathbb{Z}_{>0}}|f_n(x)|=\infty$. Teniendo una larga si es necesario, supongamos $|f_n(x)|\geq n$.

Pero $M$ es rcc, por lo $(f_n)$ tiene un punto límite $F$. El conjunto $U=\left\{g\in E^*:|g(x)-F(x)|<1\right\}$ es un débil*-barrio de $F$, lo $U$ contiene una infinidad de $f_n$'s, por lo que, para una infinidad de $n\in\mathbb{Z}_{>0}$, $|f_n(x)-F(x)|<1$, por lo tanto $n-1\leq |f_n(x)|-1\leq|f_n(x)-F(x)|+|F(x)|-1<|F(x)|$, una contradicción.

Alternativamente, yo creo que se puede proceder con una prueba similar a la del Teorema 2.

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Tu comentario sobre la rcc lo que implica secuencial débil*-compacidad es cierto. Por otra parte, se puede demostrar que las siguientes son equivalentes, dado $M\subseteq E^*$, $E$ separables:

1. $M$ es un cerrado de rcc.
2. $M$ secuencialmente es débil*-compacto.
3. $M$ es limitado y débil*-cerrado.
4. $M$ es débil*-compacto.

(1.$\Rightarrow$2.) Supongamos $M$ es un cerrado de rcc. Deje $(f_n)\subseteq M$ ser una secuencia arbitraria. Por el Corolario 2, $(f_n)$ es limitada, por lo que el Teorema 4 implica que $(f_n)$ tiene una débil*-convergente larga. Por lo tanto, $M$ secuencialmente es débil*-compacto.

(2.$\Rightarrow$3.) Supongamos $M$ secuencialmente es débil*-compacto. Primero vamos a mostrar que $M$ limita: Supongamos que no. Entonces, por el Acotamiento Uniforme, $M$ no es pointwise limitada, por lo que no es $y\in E$ $(f_n)\subseteq M$ tal que $\Vert f_n(y)\Vert \to\infty$. Por secuencialmente débil*-tamaño compacto, se puede asumir, que va a una larga si es necesario, que $f_n$ converge débilmente* para algunos $F\in E^*$. Pero, a continuación,$|F(y)|=\lim |f_n(y)|=\infty$, una contradicción. Por lo tanto $M$ está acotada.

Ahora nos muestran que la $M$ es cerrado. Deje $(x_i)\subseteq E$ ser una densa secuencia. Supongamos $F\in\overline{M}$ (el cierre, en la débil*-topología). Para cada $n$, elija $f_n\in M$ tal que $|f_n(x_i)-F(x_i)|<1/n$ por cada $i=1,\ldots,n$. En particular, $f_n(x_i)\to F(x_i)$ $n\to\infty$ por cada $i$. Va a una larga asumen $f_n$ converge débilmente* para algunos $G\in M$. A continuación, $G(x_i)=\lim f_n(x_i)=F(x_i)$ por cada $i$. Desde $(x_i)$ es densa, $F=G\in M$, lo $M$ es cerrado.

(3.$\Rightarrow$4.) Si $M$ es acotado y cerrado, entonces es un subconjunto cerrado de la puerta cerrada de la bola en $E^*$, que es débil*-compacto por Banach-Alaoglu, por lo $M$ es débil*-pacto por sí mismo.

(4.$\Rightarrow$1.) Si $M$ es débil*-compacto (en particular está cerrado) y $S$ es un subconjunto infinito de $M$, vamos a $(f_n)\subseteq S$ ser un infinito larga. Por compacidad, $(f_n)$ tiene una subred que converge a algunos $F\in E^*$, e $F$ es claramente un punto límite de $S$, lo $M$ es el rcc.