El problema puede ser abordado desde varios puntos de vista. Primero de todo, uno puede simplemente usar un (unital) $^*$-álgebra (el llamado Borchers-Uhlmann álgebra en el QFT caso), por lo tanto dejar cualquier requisito sobre el acotamiento de las características observables, y todas las características principales del enfoque algebraico se conservan, como el GNS de la construcción. Aunque, obviamente, varios tecnicismos ser más complicado debido a que, por las propiedades topológicas tienen que ser introducidos de otras maneras (en términos de seminorms posiblemente inducida por una físicamente sensible de la clase de los estados).
Sin embargo, la adherencia a la correcta $C^*$-álgebras y por lo tanto tratar con (resumen) delimitada observables, el acotamiento requisito no es tan físicamente insostenible como podría parecer a primera vista. Supongamos, en efecto, para trabajar en un determinado espacio de Hilbert con el hormigón álgebras de operadores, y se centran en una desenfrenada observable $A$. Los experimentos pueden apreciar sólo una arbitrariamente grande, pero finito rango de valores de $[-n,n]$$A$. Así, respecto de los valores alcanzados por $A$, no es posible distinguir entre
$$A = \int_{\sigma(A)} \lambda dP^{(A)}(\lambda)$$
(donde se han aprovechado de la descomposición espectral de $A$) y la limitada observable, decir:
$$A_n := \int_{[-n,n]\cap \sigma(A)} \lambda dP^{(A)}(\lambda)\:,$$
la satisfacción de $||A_n||\leq n$.
Es posible distinguir entre estas dos variables observables dependen de cuestiones teóricas. Por ejemplo, $A$ (pero no $A_n$) puede ser el generador de una físicamente relevante unitaria de simetría de la que se considera el sistema físico.
En cualquier caso, toda clase de limitada observables $\{A_n\}_{n\in \mathbb N}$ incluye el conjunto de física y matemática de la información de $A$ sí. En particular, matemáticamente hablando, $A_n \to A$ en el fuerte de operador de topología para $n\to +\infty$.
Finalmente, incluso la forma de iniciar un resumen $C^*$-álgebra, física significativa sin límites observables siempre surgen tan pronto como uno corrige un algebraicas estado y representan el álgebra asociada a la GNS espacio de Hilbert. En el mismo, por ejemplo, todas continua simetrías disfrutado por el estado (y representado por $C^*$-álgebras de automorfismos dejando invariante en el estado) (fuertemente continuamente) unitarily implementado y, por tanto, admitir (generalmente sin límites) uno mismo-adjoint generadores con significado físico.
Todas las cantidades conservadas (energía, momento, etc...), generalmente representado por unbounded auto-adjunto operadores, introduzca la teoría de esta manera, relacionados, por ejemplo, el local de Weyl $C^*$ álgebra de los operadores de campo en un QFT, tan pronto como un estado de referencia elegido.
(Vale la pena subrayar que el mismo procedimiento puede dar lugar a superselection reglas, además de los ya presentes en el resumen $C^*$-álgebras de las características observables. Estos están asociados con la elección del estado de referencia donde uno representa la teoría y la von Neumann álgebra generada por el GNS representación.)
