¿Cuál es la superficie de Riemann de $y=\sqrt{z+z^2+z^4+\cdots +z^{2^n}+\cdots}$?

Question

El siguiente aparece como el segundo al último de los problemas de Stewart Análisis Complejo:

Describir la superficie de Riemann de la función $y=\sqrt{z+z^2+z^4+\cdots +z^{2^n}+\cdots}$.

Este problema me intimidaba cuando vi por primera vez como una licenciatura, como la serie bajo la raíz no es la expansión de cualquier función sé (ni entonces ni ahora). Que hace que la superficie de Riemann más sutil de lo habitual, ya que cualquier información sobre los polos y ceros debe ser encontrado a partir de esta serie solo. Por ejemplo, tiene un cero en $z=0$ y, por tanto, un punto de ramificación. Pero debe haber otros ceros - de hecho, infinitamente muchos ceros,ya que el número de asociados con cualquier truncamiento de la serie crece en la medida en $2^N$!. Esto sugiere que la superficie de Riemann de esta función debe ser exótico.

Te voy a dar un bosquejo de un argumento a continuación, tomando la calle peatonal enfoque de la caza de los polos y ceros de la función. Sin embargo, me encantaría ver un elegante y avanzado perspectiva del problema, especialmente si se utiliza algunas ideas que no me han encontrado estudios universitarios. El más alimento para el pensamiento, el mejor!

EDIT: Como señaló O. L. la respuesta de abajo, el de la serie anterior es el ejemplo canónico de un lacunary función con el círculo unitario como límite natural. Lo que deja abierta es la naturaleza de la resultante de superficie de Riemann, que parecería que depende de la cantidad de ceros de la función dentro del círculo unidad. David Speyer ha dado un argumento en su respuesta que este número es de al menos 10. ¿Existe un resultado definitivo sobre los ceros de esta lacuuary función?

Answer 1

El truncamiento de la serie es una buena manera de cazar para las raíces, sólo tienes que hacerlo con cuidado, como Miqueas, señala. Te voy a mostrar que hay, al menos, $10$ raíces en la unidad de disco. Me imagino que hay infinitamente muchos.

Conjunto $$f(z) = z+z^2+z^4+z^8+\cdots \quad \mbox{and} \quad f_0=z+z^2+z^4+\cdots+z^{256}$$ De acuerdo con Mathematica, $|f_0(z)| > 0.066$ $|z|=0.99.$

f0 = z + z^2 + z^4 + z^8 + z^16 + z^32 + z^64 + z^128 + z^256;
Minimize[{Abs[f0 /. z -> 0.99 E^(I*t)],  0 <= t <= 2 Pi}, t]

Por otro lado, $0.99^{512} < 0.00583$ y $$|f(z)- f_0(z)| \leq |z|^{512} + |z^{1024}| + |z^{2048}| + \cdots < \sum_{k=1}^{\infty} |z|^{512 k} < 0.00583/(1-0.00583) < 0.00586.$$ Así, del teorema de Rouch, $f(z)$ $f_0(z)$ tienen el mismo número de raíces dentro de $|z|=0.99$.

De nuevo, de acuerdo a Mathematica, $f_0(z)$ $10$ raíces en el interior de este círculo:

SortBy[Select[z /. NSolve[f0 == 0, z], Abs[#] < 0.99 &], Abs]

Es decir,

{0., -0.658627, 0.120315 - 0.934606 I, 0.120315 + 0.934606 I, -0.685206 - 0.670534 I,   -0.685206 + 0.670534 I, 0.184591 - 0.958351 I, 0.184591 + 0.958351 I, 0.391863 - 0.898257 I, 0.391863 + 0.898257 I}

( SortBy Comando le dice a Mathematica cómo ordenar la salida; me ordenó en el aumento de valor absoluto.) No estoy seguro de cómo se había de hacer esto sin la tecnología, Stewart podría haber esperado algo menos precisa?

Answer 2

Esta respuesta está más cerca de un boceto de una prueba. Si usted nota lagunas/errores/tonterías en esta presentación, por favor hágamelo saber...

Queremos examinar el comportamiento de la función $f(z)$ dentro de la raíz cuadrada. Evidentemente se desvanece de forma lineal en el origen. De hecho, para todos los $|z|<1$ esta serie es convergente por comparación con la serie geométrica. Si $|z|>1$, sin embargo, la serie diverge ya que los términos no tienden a cero. Por lo tanto la unidad de disco es el disco de convergencia.

En comparación con esta sencilla imagen, el comportamiento de los $|z|=1$ es más exótico. Consideremos, en primer lugar racional de rotación, es decir, $z=e^{i\phi}$ algunos $\phi\in 2\pi\mathbb{Q}$. A continuación, $2^n\phi$ es $0$ o $\phi$ modulo $2\pi$ para algunos lo suficientemente grande entero $N$. (Esto es equivalente a la representación binaria de cualquier número racional, finalmente, terminar o convertirse periódico.) En el caso anterior, se deduce que el $z^{2^n}=1$$n\geq N$. Por último, $z^{2^n}$ es una periódica determinada secuencia de raíces de la unidad; ya que esta secuencia no incluye el 1, la suma de cada periodo es distinto de cero e idénticos. En ambos casos podemos concluir que la serie diverge. Así que cada racional de rotación da una singularidad.

Por otro lado, si $\phi/2\pi$ es irracional, entonces la secuencia de $2^n\phi$ modulo $2\pi$ no es ni periódico ni de terminación: por lo tanto la órbita de $2^n\phi$ va a ser denso en $[0,2\pi]$. Como consecuencia de ello, la serie de sumas a cero. Así que cada irracional de rotación corresponde a un cero.

Por lo tanto, parece que el círculo unitario se entrelaza con (countably muchos) singularidades y (una cantidad no numerable) de ceros. ¿Esto qué implica para $y=\sqrt{f(z)}?$ Aquí mi entender va desde suelta a tembloroso. En el caso estándar, cada cero de $f(z)$ sería un punto de ramificación de la correspondiente superficie de Riemann. En consecuencia, a uno le parece que tiene una superficie de Riemann de (uncountably) infinito género.

En el marco del (generoso) suposición de que este es todo el sonido, hay preguntas que se mantienen para mí:

• ¿Cuál es la naturaleza de las singularidades en consonancia fases? (Son los polos de algunos multiplicidad, o son esenciales singularidades?)
• Mientras que hay una cantidad no numerable de ceros, hay una simetría bajo compleja conjugación de todas las raíces ahorrar $z=0$. En consecuencia, la 'número' de tal ceros es aún, y esperamos ser capaces de dibujar cortes de ramas entre todas las personas en el círculo unidad. De este modo, el punto de ramificación en cero; por lo general llego a la conclusión de que habrá un punto de ramificación en el infinito, pero no estoy seguro de que tiene aquí.
• Si uno trunca la expansión de la serie en algún $2^n$, entonces el número de ceros es finito. La mayoría de ellos están en el barrio de el círculo unitario como sería de esperar. Sin embargo, hay también un cero para algunos $z\in(0,1)$ (como se desprende de un valor intermedio argumento.) ¿Qué sucede con este real negativo cero cuando vamos a la serie infinita?

Answer 3

Este es un extenso comentario a la respuesta de Semiclásica.

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La serie $$f(z)=\sum_{k=0}^{\infty}z^{2^k}$$ es un ejemplo canónico de una función de tener límite natural (el llamado lacunary de la serie). Aquí el límite natural está dado por el círculo unidad $|z|=1$, dentro de los cuales la serie es absolutamente convergente.

Una declaración más general es la Ostrowski–Hadamard brecha teorema:

Deje $\{p_k\}$ ser una secuencia de enteros positivos satisfacer $\lambda p_k<p_{k+1}$ cualquier $k\in\mathbb{N}$ con $\lambda>1$, y deje $\{a_k\}$ ser una secuencia de números complejos tales que el radio de convergencia de la serie $f(z)=\displaystyle\sum_{k\in\mathbb{N}}a_kz^{p_k}$ es igual a $1$. Entonces no hay ningún punto en el círculo unitario $|z|=1$ es un punto habitual de $f(z)$.

Las respuestas a estas MO preguntas (1, 2) también puede ser de interés.