Es este Armónico Polinomio Idénticamente Cero?

Question

Deje $h$ ser un armónico polinomio que es cero en las líneas de $Im(z) = 1$$Im(z) = -1$.

Yo sé que por el Schwarz Reflexión Principio, $h$ debe ser cero en cualquier línea de $Im(z) = k$ $k$ extraño, pero este hecho podría no ser necesario.

Estoy bastante seguro de que $h$ debe ser idénticamente cero, pero ¿cómo puedo comprobar esta afirmación?

He estado asumiendo que una armónica polinomio es simplemente un elemento de $\Bbb R[x,y]$ cuyo Laplaciano es cero, pero he llegado a través de expresiones como $f(z) = z^n + \overline z^n$, y no estoy seguro de cómo estos encajan en la foto.

Estoy empezando a entrar en armónica de la teoría de la función, así que pido disculpas si mis preguntas son muy básicas. Dicho esto, voy a estar muy agradecido por los punteros que usted puede proporcionar. Gracias!

Answer 1

Incluso una de las dos líneas de las fuerzas de $f$ a ser idéntica a cero.

Sus derivados a lo largo de la línea es igual a cero, por lo que su derivada perpendicular a la línea también es cero. Mediante la integración, podemos demostrar que $f$ es cero en cualquier línea paralela a la original, y por lo tanto en todas partes.

Answer 2

Usted está en el derecho de las líneas con las Schwarz Principio de Reflejo. Cualquier $h$ la satisfacción de las condiciones tendría que ser cero en un número infinito de líneas horizontales $Im(z) = k$, pero si ahora fijamos en cualquier armónico polinomio restringidos a una línea perpendicular $Re(z) = m$, es sólo un polinomio de la función en una variable, por lo que si sólo puede tener un número finito de ceros (a lo largo de esa línea) a menos que sea idéntica a cero. Por lo tanto su función de $h$ debe ser idénticamente cero en cualquier línea vertical, y por lo tanto es cero en todo el avión.

Como he dicho en un comentario, el hecho de que $h$ es un polinomio es necesario, ya que el ejemplo $e^x\cos y = Re(e^z)$ es un ejemplo de una función armónica, que es cero en un número infinito de líneas horizontales en el plano complejo, sin ser idéntica a cero.