Dividiendo bolas de colores entre los niños

Question

El siguiente fue un ejercicio he resuelto:

Tenemos 8 bolas numeradas - dos azules, dos rojos, dos verdes y dos amarillos. Al dividir entre 4 niños, 2 bolas de cada uno, ¿cuál es la probabilidad de al menos un niño de dos bolas del mismo color?

He resuelto mediante la exclusión-inclusión principio, y consiguió el resultado final $3/7$. Mi pregunta es, ya que esta es una buena fracción, se hay alguna manera de solucionar el problema, que podía haber llegado a la fracción directamente?

(Este es el cálculo que hice: http://www.wolframalpha.com/input/?i=C(4%2c1)*(4*C(6%2c2)*C(4%2c2)C(2%2c2))%2f2520-C(4%2c2)(4*3*C(4%2c2)C(2%2c2))%2f2520%2bC(4%2c3)(4*3*2*C(2%2c2))%2f2520-C(4%2c4)*(4*3*2*1)%2f2520&incParTime=true)

Answer 1

Es más fácil calcular el complemento que cada niño recibe en la mayoría de los 1 balón. Para la primera bola de la probabilidad es 1, para el segundo $\frac{n-1}{n}$

Usted obtener para k bolas y n (>k) los niños $\frac{n!\cdot (n-k)!}{n^k}$

Answer 2

Yo no creo que hay una línea de cálculo de esta probabilidad o su complemento; pero se puede hacer sin la inclusión-exclusión principio. Con el fin de calcular la probabilidad de $p$ que ningún niño recibe dos bolas del mismo color se puede argumentar de la siguiente manera:

Al principio los ocho bolas en una urna. El primer niño tiene 28 posibilidades de sacar dos bolas sin reemplazo, de las que 4 son malos. Por lo tanto, tenemos una probabilidad de ${6\over7}$ que el primer hijo que tiene dos bolas de diferentes colores, decir $\{a,b\}$.

Las seis bolas de la izquierda tiene un color de distribución de $\{a,b,c,c,d,d\}$. El segundo hijo que tiene 15 posibilidades de sacar dos bolas de estas, de las cuales 2 son malos. Con una probabilidad de ${1\over15}$ ella $\{a,b\}$. Los restantes cuatro bolas $\{c,c,d,d\}$ admite tres parejas, y uno de estos es malo. Con una probabilidad de ${2\cdot 4\over15}$ el segundo hijo de la coge $\{a,c\}$ (o similar). Los restantes cuatro bolas $\{b,c,d,d\}$ nuevo admitir tres parejas, una de ellas malas. Finalmente, con una probabilidad de ${2\cdot 2\over15}$ el segundo hijo de la coge $\{c,d\}$, en cuyo caso, cuatro bolas de diferentes colores no se que puede estar vinculado de alguna manera.

Poniendo todo junto vemos que la probabilidad de $p$ está dado por $$p\ =\ {6\over7}\cdot\Biggl({1\over15}\cdot{2\over3}+{8\over15}\cdot{2\over3}+{4\over15}\cdot1\Biggr)={4\over7}\ .$$

Answer 3

Este problema depende de si nos puede decir la diferencia entre los dos bolas del mismo color. (Y si usted puede decir la diferencia entre los dos niños, pero estoy asumiendo que es así.) Su declaración de no dejar en claro que el caso de que usted está mirando. Por desgracia, estoy teniendo problemas para dar con una solución elegante en cualquier caso, pero tengo algunos comentarios.

(1) las Bolas del mismo color son distinguibles. Aquí, el espacio de las posibilidades, tiene un tamaño igual al número de formas de elegir los cuatro pares de cojones (que está dado por el coeficiente multinomial $\binom{8}{2,2,2,2} =\frac{8!}{(2!)^4} = 2,520$) multiplicado por el número de formas de distribución de los cuatro pares a los cuatro niños (que simplemente es $4! =24$). De modo que el espacio tiene el tamaño de 60,480. Si usted razón, a lo largo de líneas similares para calcular el número de maneras de distribuir las bolas de manera que al menos un niño recibe dos bolas del mismo color que usted va a terminar haciendo algo de la doble contabilización, así que creo que algún tipo de inclusión-exclusión es necesaria.

(2) las Bolas del mismo color, no se distinguen. El número de formas de distribuir las bolas de aquí a fin de que ningún niño recibe dos bolas del mismo color es igual a la cantidad de 2-regular bipartito gráficos donde el conjunto de vértices es bipartitioned en dos conjuntos de cuatro vértices y sin múltiples aristas. Una ventaja $(i,j)$ en una gráfica significa que el niño $i$ obtiene una bola de color $j$. El hecho de que es 2-regular significa que cada niño reciba exactamente dos bolas y que hay dos bolas de cada color. El tamaño del desdoblamiento significa que hay cuatro niños y cuatro tipos de bolas. Del mismo modo, el número total de formas de distribuir las bolas, es igual al mismo número de gráficos, pero donde nos permiten múltiples aristas. No sé de ninguna de las fórmulas para calcular bien la cantidad en general, sin embargo.