¿A qué velocidad $\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^\alpha}$ ( $\alpha\leq1$) divergen?

Question

La serie $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^\alpha}$ diverge si $\alpha\leq 1$. ¿Cómo puedo calcular la diferencia de velocidad al $\alpha$ es dado. Por ejemplo, si $\alpha=1$, $\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^\alpha}=O(\log n)$; si $\alpha=0$, $\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^\alpha}=O(n)$.