Definición de álgebra de la Sigma

Question

Me preguntaba, ¿por qué no estamos autorizados a tomar arbitraria de los sindicatos (del mismo modo que las intersecciones) en la definición de un sigma álgebra?; Estoy buscando una forma más o menos intuitiva de la razón. A mí me parece que la mayoría de la motivación en la definición de sigma álgebra de operadores se encuentra en la Teoría de la Medida. Así, no permitiendo arbitraria uniones e intersecciones de alguna manera tornillo de seguridad de la teoría?

También, hay una estructura matemática que es similar a un sigma álgebra, para lo cual arbitraria uniones e intersecciones que se especifica?

EDIT: Por arbitrarias, me refiero a incluir a las familias de subconjuntos que no necesariamente son indexables por una contables conjunto.

Answer 1

Si usted permite que para el ahorro de las familias, veremos que inmediatamente esto arruinaría la teoría en $\mathbb{R}$ (y la mayoría de otros lugares de interés).

Esto es porque cualquier tal álgebra que contenga el singleton también contendría cualquier subconjunto de los números reales. Por lo tanto, estaríamos una vez más en el problema de Carathéodory: tener demasiados juegos medibles en las que no podemos establecer aditividad de la forma $$\mu(\sqcup E_n) = \sum \mu(E_n).$ $