El máxima unramified extensión de $\mathbb{Q}_p$ puede ser descrita explícitamente: Añadir todas las raíces de la unidad de primer orden a $p$. Esto se hace por la correspondencia entre extensiones finitas unramified de $\mathbb Q_p$ y extensiones finitas de $\mathbb F_p$. ¿Del mismo modo, uno puede encontrar una descripción explícita para el máxima unramified extensión de $\mathbb F_p((t))$?
Respuesta
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Para $\mathbb{F}_p((t))$, esto es, en un sentido aún más simple: es la máxima unramified extensión es el límite a más de $\mathbb{F}_{p^n}((t))$, $n\in \mathbb{N}$. Esto es muy fácil de ver, ya que unramified extensiones de campo local en bijection con las extensiones de los residuos de campo. En otras palabras, la máxima unramified extensión es de nuevo generado por las raíces de la unidad de la orden de primer a $p$.
Es muy divertido para probar y clasificar, utilizando el campo de clase de teoría, la máxima confiando inocentemente ramificado extensión de $\mathbb{F}_p((t))$.
