Un problema sobre integrales impropias

Question

Dejemos que $f(x)$ ser continua excepto en $x = 0$ y que $a > 0$ . Supongamos que la integral impropia $$\int_{0}^{a}f(x)\,dx = \lim_{\epsilon \to 0+}\int_{\epsilon}^{a}f(x)\,dx$$ existe y deja que $$g(x) = \int_{x}^{a}\frac{f(t)}{t}\,dt$$ Demuestra que $$\int_{0}^{a}g(x)\,dx = \int_{0}^{a}f(x)\,dx$$

He intentado la integración por partes observando que $g'(x) = -f(x)/x$ y obtenido para $0 < \epsilon < a$ lo siguiente $$\int_{\epsilon}^{a}g(x)\,dx = [xg(x)]_{x = \epsilon}^{x = a} - \int_{\epsilon}^{a}xg'(x)\,dx$$ o $$\int_{\epsilon}^{a}g(x)\,dx = -\epsilon g(\epsilon) + \int_{\epsilon}^{a}f(x)\,dx$$

El problema se resuelve si podemos demostrar de alguna manera que $\lim_{\epsilon \to 0+}\epsilon g(\epsilon) = 0$ . Si miramos la definición $g(x)$ vemos que no tenemos información del comportamiento de $f(t)$ en $t = 0$ y el $t$ en el denominador complica el análisis de $g(\epsilon)$ . Por favor, sugiera algunas pistas que puedan conducir a la solución.

Nota: Este problema está tomado de la obra de G. H. Hardy "A Course of Pure Mathematics" 10th ed. Página 397.

Answer 1

Una pista: Definir $$h(x)=\int_x^af(t)dt,\ \forall x\in[0,a].$$ Entonces, para cada $x\in(0,a]$ , $$g(x)=-\int_x^a\frac{h'(t)}{t}dt=\frac{h(x)}{x}-\int_x^a\frac{h(t)}{t^2}dt=\frac{h(x)}{a}+\int_x^a\frac{h(x)-h(t)}{t^2}dt.$$

Dado $\delta\in(0, a]$ , denotan $$M_\delta=\max_{x,y\in[0,\delta]}|h(x)-h(y)|.$$ Cuando $x\in(0,\delta)$ , $$|g(x)-\frac{h(x)}{a}|\le \int_x^\delta\frac{|h(x)-h(t)|}{t^2}dt+\int_\delta^a\frac{|h(x)-h(t)|}{t^2}dt\le \frac{M_\delta}{x}+\frac{M_a}{\delta}.$$

Answer 2

Para demostrar $\lim\limits_{x\to0}xg(x)= 0$ , dejemos que $\epsilon > 0$ . Elija $ x_0$ tal que $ 0<x<x_0 \implies |\int_x^{x_0}f(t)\, dt|<\epsilon$ . Para tales $ x $ tenemos

$$ xg(x) = x\int_{x_0}^a\frac{f(t)}{t}dt+x\int_{x}^{x_0}\frac{f(t)}{t}dt$$

El primer término de la derecha $\to 0$ como $x\to 0^+$ . Para estimar el segundo término, se establece $ F(x) = \int_x^{x_0}f(t)\,dt$ e integrar por partes:

$$ \int_{x}^{x_0}\frac{f(t)}{t}dt =\frac{-F(t)}{t}\bigg |_{x}^{x_0}-\int_{x}^{x_0}\frac{F(t)}{t^2}dt$$

el hecho de que $|F|<\epsilon $

$$|x\int_{x}^{x_0}\frac{f(t)}{t}dt| < 3\epsilon $$

Lo entendemos. $\limsup\limits_{x\to 0^+} |xg(x)|\le 3\epsilon$

Answer 3

1. encontrar g'(x)=-f(x)/x
2. x*g'(x)=f(x)
3. integrar ambos lados con límite 0 a a utilizando la integración por partes
4. {x*g(x)|0 a a } - { integración de g(x) límite 0 a a} = -{integración de f(x) límite 0 a a }
5. ahora use la ecuación dada y ponga x =a entonces obtendrá g(a)=0
6. ahora sólo resolver u obtendrá el resultado deseado .