Que $X_0 \to X$ sea una inmersión nilpotentes cerrado de esquemas. ¿Es cada paquete del vector en $X_0$ la retirada de un paquete del vector en $X$?
La respuesta es sí cuando $X$ es afín. ¿En general, puede haber contraejemplos?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
En el caso de la línea de paquetes, su pregunta está relacionada con el comportamiento de la Picard variedad en las familias, y contraejemplos se puede encontrar mediante la búsqueda de ejemplos en el que el Nerón--Severi rango de saltos.
E. g. deje $E_t$ ser un parámetro de la familia de curvas elípticas, elegida de forma que $E_0$ es de CM, pero $E_t$ no es CM para $t \neq 0$. Más precisamente, elija la familia, de manera que el CM locus es, precisamente, $t = 0$ (en lugar de algunos no trivial nilp. engrosamiento de $t = 0$). (Concretamente, esto significa que estamos eligiendo la familia, de manera que el $j$-invariante es de grado uno en $t$; usted puede incluso elegir una familia en la que $t = j$.)
Ahora vamos a $X_0 = E_0 \times E_0$, y deje $X$ ser el engrosamiento de $X_0$ dado por tomar $E_t\times E_t$, y el establecimiento $t^2 = 0$.
En $X_0$ usted puede tomar un divisor $D_0$ conectado a la gráfica de una no-trivial complejo de la multiplicación. Este divisor no se deforma a un divisor de Cartier en $X$, y la línea asociada paquete no se extiende a una línea de paquete en la $X$.
Esta pregunta se relaciona con la forma variacional de la Lefschetz $(1,1)$-teorema. Si el engrosamiento es un engrosamiento $k[\epsilon]$ (el doble de los números), como en mi ejemplo, la obstrucción de que Alex Youcis discute es un elemento de $H^2(X_0,\mathcal O_{X_0}),$ y es precisamente la imagen en $F^0/F^1$ (aquí se $F^{{\bullet}}$ denota la Hodge filtración) del transporte a través de el Gauss--Manin conexión de la clase de Chern de la línea dada paquete en la $X_0$. La forma variacional de la $(1,1)$-teorema dice que esta imagen debe desaparecer para que la línea de paquete para deformar (y una prueba es a través de la obstrucción el cálculo que Alex se discute).
