Demostrar: Si una secuencia converge, entonces cada subsequence converge al mismo límite.

Question

Necesito un poco de ayuda para la comprensión de esta prueba:

Demostrar: Si una secuencia converge, entonces cada subsequence converge al mismo límite.

Prueba:

Deje $s_{n_k}$ denotar una larga de $s_n$. Tenga en cuenta que $n_k \geq k$ todos los $k$. Este fácil de probar por inducción: de hecho, $n_1 \geq 1$ $n_k \geq k$ implica $n_{k+1} > n_k \geq k$ y, por tanto,$n_{k+1} \geq k+1$.

Deje $\lim s_n = s$ y deje $\epsilon > 0$. Existe $N$, de modo que $n>N$ implica $|s_n - s| < \epsilon$. Ahora $k > N \implies n_k > N \implies |s_{n_k} - s| < \epsilon$.

Por lo tanto: $\lim_{k \to \infty} s_{n_k} = s$.

1. ¿Qué es la intuición de que cada subsequence se convergen al mismo límite
2. No entiendo la inducción que reclama $n_k \geq k$

Answer 1

1. Una secuencia converge a un límite de $L$ a condición de que, finalmente, la cola entera de la secuencia está muy cerca de a $L$. Si se restringen a la vista a un subconjunto de la cola, también debe de estar muy cerca de $L$ (de lo contrario, ¿cómo podría el original de la cola estar cerca?).

2. Un ejemplo podría ayudar. Supongamos que su larga para aprovechar todas las demás índice: $n_1 = 2$, $n_2 = 4$, etc. En general, $n_k = 2k$. Aviso de $n_k \geq k$, ya que cada paso hacia adelante en la secuencia hace que $n_k$ aumentar $2$, pero $k$ aumenta sólo por $1$. El mismo será cierto para otros tipos de subsecuencias (es decir, $n_k$ se incrementa en al menos $1$, mientras que $k$ incrementa exactamente $1$).

Answer 2

Para la parte 1, si hubo una larga que no convergen al mismo límite, entonces podríamos encontrar un barrio alrededor de la original punto tal que infinitamente muchos larga términos estaban fuera del barrio. Luego infinitamente muchos secuencia de términos están fuera del vecindario, y por tanto la secuencia no puede converger al punto original.

Como para la parte 2, me deja poner una alternativa a prueba de adelante. Supongamos que por la vía de la contradicción que hay algunos $k$ tal que $n_k<k$. Sabemos que $n_1\geq 1$ desde $1$ es el menor entero positivo, así que necesariamente ha $k>1.$, $n_j<n_{j+1}$ todos los $j$, de modo que sabemos que el $n_j$ son todos distintos, y, en particular, para todos los $j\leq k$ tenemos $n_j\leq k-1$ (desde $n_j\leq n_k<k$). Pero, a continuación, $\{n_1,...,n_k\}$ $k$- elemento subconjunto del conjunto $\{1,...,k-1\}$, lo cual es imposible, puesto que un subconjunto no puede ser estrictamente mayor que el de un conjunto. No es la deseada contradicción.