qué topología se utiliza en $\mathbb{C}^ 2$ para demostrar que la adición compleja continua?

Question

El título lo dice todo. La motivación detrás de esta pregunta es que estoy atascado con un teorema en topología, que establece que si $f,g:X \rightarrow \mathbb{K}$ (donde $\mathbb{K}$ es $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ - ambos dotados de la topología euclidiana - y $X$ es algún espacio topológico) es continua, entonces $f\cdot g$ también lo es. Dado que el esbozo de la prueba dice así: "Sabemos que a partir de que la multiplicación $\textrm{mult}: \mathbb{K}^2 \rightarrow \mathbb{K}$ es continua y $C:X \rightarrow \mathbb{K}^2, C(x)=(f(x),g(h))$ también lo es, por lo que debe ser $f \cdot g = C \circ \textrm{mult}$ " Me queda el problema (al no haber hecho aún un curso completo de análisis complejo) de con qué topología $\mathbb{C}^2$ tradicionalmente está dotada, cuando se prueba, que la multiplicación de los números complejos es continua.

(Para este teorema necesito el hecho de que esta topología que busco en $\mathbb{C}^2$ - visto como el dominio de $\textrm{mult}$ - está al menos contenida en la topología del producto obtenido a partir de $ \mathbb{C}^2 = \mathbb{C} \times \mathbb{C} $ ambos dotados de la topología euclidiana - $ \mathbb{C}^2$ visto esta vez como el rango de $C$ - porque si no la prueba no funcionará. Mi conjetura es, que la topología que estoy buscando en $\mathbb{C}^2$ - como el dominio de $\textrm{mult}$ - es la topología de producto arriba descrita, pero no pude hacer rápidamente una prueba de que usando esta topología $\textrm{mult}: \mathbb{C}^2 \rightarrow \mathbb{C}$ es continua y como ya he perdido bastante tiempo con este problema y además no he hecho un curso de análisis complejo, he pensado que por fin es el momento de preguntaros a vosotros sobre esto, para tener las cosas claras).

Preguntas al margen:

También me pregunto por qué se menciona la "topología euclidiana", porque hasta donde yo sabía, esto sólo tiene sentido para $\mathbb{R}$ (Supongo que con $\mathbb{C}$ se entiende que la topología euclidiana de $\mathbb{R}^2$ se utiliza; podría ser, que si la topología que estoy buscando en $\mathbb{C}^2$ - como el dominio de $\textrm{mult}$ - es la topología del producto, que es la misma que la euclidiana para $\mathbb{R }^4$ ?)

¿Alguien conoce otra demostración del teorema anterior? (Una que especialmente no use redes, porque he hecho un esbozo de una prueba de esa manera y es simplemente penosa - y tampoco se adapta fácilmente a otros tipos de composición $f$ y $g$ )

Answer 1

Sí, la topología euclidiana en $\mathbb{C}$ es igual a la topología euclidiana en $\mathbb{R}^2$ lo que significa que ambos son inducidos por la métrica de distancia euclidiana. La topología de producto en $X \times Y$ está generado por intersecciones finitas de las bandas abiertas $p_1^{-1}(U)$ , $p_2^{-2}(V)$ donde $U$ está abierto en $X$ y $V$ está abierto en $Y$ y $p_1, p_2$ son los mapas de proyección sobre $X$ y $Y$ respectivamente. En $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ basta con tomar $U$ y $V$ ser intervalos abiertos, por lo que es fácil ver que las "cajas" abiertas $(a,b)\times (c,d)$ están abiertas en $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ y forman una base. Pero en cualquier bola métrica abierta de $\mathbb{R}^2$ cada punto de la bola puede estar rodeado por una "caja" abierta de dimensiones suficientemente pequeñas. A la inversa, cada caja abierta tiene una pequeña bola métrica abierta que rodea cada uno de sus puntos. Esto demuestra que $\mathbb{R}^2$ (Euclidiano) $\cong \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ . Además, "euclidiano" $\mathbb{C}^2$ y euclidiano $\mathbb{R}^4$ tienen la misma topología.

Sobre la continuidad, en tu título mencionabas la "suma compleja", pero tu pregunta tenía que ver con la "multiplicación compleja", así que supondré que te referías realmente a la multiplicación. Considera el mapa de la multiplicación: $\mu : \mathbb{C}^2 \to \mathbb{C}$ escrito en términos de componentes reales e imaginarias:

$$\mu : \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^2,$$

$$\mu(a, b, c, d) = (ac-bd, bc+ad).$$

A la izquierda, interpretamos $(a, b, c, d)$ como $(a + bi, c + di) \in \mathbb{C}^2$ . A la derecha, interpretar $(ac-bd, bc+ad)$ como $(ac-bd) + (bc+ad)i \in \mathbb{C}$ . Entonces claramente $\mu$ es continua en las cuatro variables, porque las funciones componentes $ac-bd$ y $bc+ad$ son continuas (siendo polinómicas en los argumentos).

Espero que le sirva de ayuda.