¿Cómo hallar la fracción a partir del decimal?

Question

Problema: Un número decimal $z$ de 8 dígitos después del punto decimal. $x,y$ de forma que los 8 primeros dígitos de $\frac{x}{y}$ son iguales que $z$ (se pueden ignorar los dígitos después de los 8 primeros dígitos ) ?

El punto decimal es un punto utilizado para separar la parte entera de la parte fraccionaria de un número. Las restricciones son

1. $x,y$ no tienen ningún número racional o irracional común como factor en $x,y$ es decir, su máximo común divisor es $1$ .

2. $x,y$ podría ser irracional*.

3. $y$ no es una potencia de $10$ .

4. encontrar el menor $x,y$ si es posible.

Ejemplo: Considera el número, $0.29411764705882352941176470588235$ como $z$ .

Aquí, los primeros 36 dígitos de $\frac{5}{17}$ son $29411764705882352941176470588235$ .

Así que.., $x=5, y=17$ . Por lo tanto, si $0.29411764705882352941176470588235$ ¿existe algún algoritmo que pueda encontrar $5,17$ ?.

*Nota: El problema tiene en cuenta los 8 primeros dígitos después del punto decimal. Por lo tanto, si $\frac{x}{y}$ es infinito después del punto decimal, pero tiene los 8 primeros dígitos igual que $z$ , después del punto decimal, la solución es aceptable, por eso $x,y$ podría ser irracional.

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Answer 1

Como sugería Raymond Manzoni en su comentario, la mejor aproximación de un número decimal suele conseguirse transformándolo en una fracción continua. Intentaré explicar cómo funciona con un ejemplo.

Tomemos $z=0.29411764$ como sugeriste, y calcular su recíproco $1/z=3.4000000816$ . La parte entera de este número ( $3$ ) es el primer término de la expansión de la fracción continua, y $z=1/3$ es la primera aproximación.

Consideremos ahora la parte fraccionaria de $1/z$ es decir $0.4000000816$ y calcular su recíproco $2.4999994900001$ . La parte entera ( $2$ ) es el segundo término de la expansión de la fracción continua y $z=1/(3+1/2)$ es, pues, la segunda aproximación. La parte fraccionaria restante es $0.4999994900001$ cuyo recíproco es $2.00000204000168$ esto da $2$ como tercer término en la expansión de la fracción continua, lo que lleva a $z=1/(3+1/(2+1/2))$ . El resto fraccionario $0.00000204000168$ es muy pequeño: eso significa que la aproximación a la que hemos llegado es muy buena. De hecho, se puede comprobar que $$ {1\over\displaystyle3+{1\over2+{1\over2}}}={5\over17}. $$

Este ejemplo sugiere una posible estrategia: calcular la expansión de fracción continua de $z$ hasta obtener un pequeño resto. Esto funciona bien si $z$ es la representación decimal truncada de una fracción que tiene enteros pequeños como numerador y denominador.

Si, por el contrario, $z$ es la raíz cuadrada de dicha fracción, entonces no se obtendrá ningún resto pequeño, y los términos de la fracción continua mostrarán un patrón periódico. En ese caso se puede calcular la expansión de la fracción continua de $z^2$ para obtener una fracción aproximada $a/b$ de modo que $z=\sqrt{a}/\sqrt{b}$ .

Ejemplo: $z=1.29099445=1+0.29099445$ . El recíproco de la parte fraccionaria es $3.43649165817424=3+0.43649165817424$ y de nuevo el recíproco de la parte fraccionaria es $2.29099452709545=2+0.29099452709545$ . Observa que el último resto es muy parecido al primero: si continúas con la expansión obtendrás una fracción continuada (cuasi) periódica: $$ z=1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{3+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{3+\dots}}}} $$ Esto no es exactamente periódico debido a la limitada precisión, pero no vas a obtener un pequeño resto en unos pocos ciclos.

Probemos entonces $z^2=1.6666666699308=1+0.6666666699308$ . Obtenemos a su vez $1.4999999926557=1+0.4999999926557$ y $2.0000000293772=2+0.0000000293772$ . El resto fraccionario es pequeño, por lo que podemos parar con: $$ z^2=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2}}=\frac{5}{3}, \quad\hbox{and}\quad z=\frac{\sqrt5}{\sqrt3}. $$

Answer 2

Esta respuesta se escribió cuando la pregunta no tenía puntos $1$ y $4$ mencionado en la lista de restricciones para $x$ y $y$ . Para la pregunta actual, ya no es válido.

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Sea $$z=0.abcdefgh$$ Si inicialmente $|z|>1$ ignoramos la parte entera y si $z<0$ tomamos el valor absoluto.

Ahora, considere $$\frac{x}{y}=\frac{abcdefgh}{100000000}$$

Si $x,y$ puede ser racional, entonces simplemente tome $$x=2\times abcdefgh$$ y $$y=200000000$$

Si $x,y$ debe ser irracional, entonces toma $$x=\pi\times abcdefgh$$ y $$y=100000000\pi$$

o cualquier otro número irracional en lugar de $\pi$ .

Answer 3

Si su número es $0.abcdefgh...$ entonces considera $\frac{abdcefgh2}{1000000000}$
Entonces cancélalo e y no será una potencia de 10