Construcción de un espacio vectorial de dimensión $\beth_\omega$

Question

Estoy tratando de resolver el Ejercicio I. 13.34 de Kunen de la Teoría de conjuntos, que va como sigue (parafraseado):

Deje $F$ ser un campo con $|F| < \beth_\omega$, e $W_0$ un espacio vectorial sobre$F$$\aleph_0 \le \dim W_0 < \beth_\omega$. De forma recursiva deje $W_{n+1} = W_n^{**}$, de modo que $W_n$ es, naturalmente, identificado con un subespacio de $W_{n+1}$. A continuación, vamos a $W_\omega = \bigcup_n W_n$. Mostrar que $|W_\omega| = \dim W_{\omega} = \beth_\omega$.

Algunos datos útiles:

1. Si $W$ es un espacio vectorial sobre $F$ con base $B$, es evidente que existe una bijection entre el $W^*$ ${}^{B}F$ (es decir, el conjunto de funciones de$F$$B$, que se denota de esta manera para evitar la ambigüedad con el cardenal exponenciación). Por lo tanto $|W^*| = |F|^{\dim W}$.

2. Asaf Karagila mostró en esta respuesta que $|W| = \max(\dim W, |F|)$.

3. Por el "doble" de la construcción tenemos $\dim W^* \ge \dim W$. (Hay una afirmación en la Wikipedia en la que la desigualdad es estricta cuando $\dim W$ es infinito, pero no la puedo ver de inmediato cómo probar que.)

Una desigualdad es bastante fácil. Basado en Hechos 1, obtenemos $|W^*| = |F|^{\dim W} \le |F|^{|W|}$. Ahora, gracias al simple hecho de que ${}^{\beth_n} \beth_m \subset \mathcal{P}(\mathcal{P}(\beth_m \times \beth_n))$ tenemos $\beth_m^{\beth_n} \le \beth_{\max(m,n)+2}$. Así que por inducción se sigue que $|W_n| < \beth_\omega$ por cada $n$, y por lo tanto (el uso de Kunen del Teorema de 1.12.14), llegamos a la $|W_\omega| \le \beth_\omega$.

En el otro sentido, si $\dim W \ge |F|$, entonces el Hecho 3 nos da $\dim W^* \ge |F|$ y, por tanto, por los Hechos 1 y 2 $$\dim W^* = \max(\dim W^*, |F|) = |W^*| = |F|^{\dim W} \ge 2^{\dim W}.$$

Así que si $\dim W_0 \ge |F|$, entonces por inducción obtenemos $\dim W_n \ge \beth_{2n}$ y, por tanto,$\dim W_\omega \ge \beth_\omega$. Desde $|W_\omega| \ge \dim W_\omega$ debemos tener igualdad en todo.

Pero estoy atascado en el caso de $\aleph_0 \le \dim W_0 < |F|$. Intuitivamente parece como $\dim W^*$ debe ser "mucho mayor" que la de $\dim W$. No deberíamos realmente necesita para ir a través de las cardinalidades de los mismos espacios, pero no puedo ver qué hacer. Cualquier sugerencias?

Answer 1

Creo que tienes todos los ingredientes, lo único que parece que falta es que si $V$ es dimensional infinito $$|F|\leq \dim V^*$ $
Y esto sigue desde los vectores $$(a,a^2, a^3, \ldots)$$ for $a \in F$ son linealmente independientes por determinante de Vandermond.

Answer 2

Sugerencia: Primero probar el caso cuando $F$ contable. Para el caso $|F|<\beth_\omega$, considere el primer campo $K$ $F$. Sea $W'_\omega$ el espacio obtenido usando la construcción anteriormente teniendo en cuenta como un espacio de $W_0$-vector, entonces el $K$ $|W_\omega'|=\beth_\omega$. Como hay una copia de $W_\omega'$ $W_\omega$, obtenemos $|W_\omega|=\beth_\omega$.