Recientemente pedí una pregunta sobre MathOverflow, relativa a un marco predicativo de segundo orden de la teoría de los números reales. Ahora el estándar para el desarrollo de predicativity en el caso de segundo orden, la aritmética es mediante la comprensión de los esquemas de indexado por certainn transfinito ordinales, comenzando con el conjunto de los números ordinales menos de $\varepsilon_0$, que es la prueba teórico-ordinal de primer orden $PA$. Con el fin de llevar a cabo el mismo procedimiento para los números reales, necesitaría saber la prueba de la teoría ordinal de la de primer orden de la teoría de los números reales, es decir, la teoría de la real campos cerrados.
En otras palabras, quiero averiguar lo transfinito ordinales pueden demostrado ser bien fundamentada por la teoría de la real campos cerrados. Es posible que la respuesta puede ser "ninguno de ellos", porque ni siquiera se puede definir el "número natural" en la teoría de la real de campos cerrados, entonces usted no puede ser capaz de definir cualquier contables bien ordenamientos. Si esa es la respuesta, entonces lo que si vamos a un segundo orden de la teoría de los números reales, pero una muy débil: los axiomas para ordenó campos, además de la menor cota superior de axioma (AKA Dedekind integridad), además de una comprensión del esquema de sólo primer orden fórmulas (es decir, las fórmulas sin cuantificación sobre los conjuntos de los números reales)? Esta sería una teoría similar a $ACA_0$, que tiene los de segundo orden axioma de inducción, pero la comprensión de que sólo las fórmulas que no implican la cuantificación sobre los conjuntos de números naturales.
Esta teoría todavía puede ser demasiado débil para definir cualquier contables bien ordenamientos, debido a que el estándar de la definición de número natural en el segundo orden de la teoría de los números reales que implica la cuantificación sobre los conjuntos de los números reales: un número natural se define como un número real que pertenece a todos los hereditario establece que $0$ pertenece a (o $1$ dependiendo de donde empiezan los números naturales), donde hereditaria conjunto es un conjunto que contiene a $n+1$ siempre que contenga $n$.
Cualquier ayuda sería muy apreciada.
Gracias de Antemano.
EDIT: En los comentarios, @RobArthan señaló que los conjuntos definibles en el primer orden de teoría de campos cerrados son los semialgebraic conjuntos, y semialgebraic conjuntos tienen que ser finito sindicatos de puntos e intervalos, así que realmente no podemos construir cualquier contables conjuntos, digamos contables bien ordenamientos. Así que podemos concluir que el primer orden de teoría de la real campo cerrado no se puede demostrar el buen orden de cualquier transfinito ordinales, por lo que su prueba teórica ordinal simplemente se $\omega$.
Así que ahora mi única pregunta que queda es, ¿y si nos tomamos el segundo orden de la teoría de los números reales, es decir, los axiomas para ordenó campos, junto con la menor cota superior de la o (Dedekind) axioma de completitud, pero podemos restringir la comprensión de las fórmulas sin cuantificación sobre los conjuntos de los números reales? (Esto es análogo a la restricción de segundo orden,$PA$$ACA_0$.) En ese caso, lo transfinito ordinales, si alguna, podríamos probar a estar bien fundada?
