PARA

Question

Dejamos $H^{s}(\mathbb R^{n}), (s\in \mathbb R)$ los espacios de Sobolev. Es bien sabido que: el % de espacio $H^{s}(\mathbb R^{n})$es un álgebra con respecto a las multiplicaciones pointwise, $s>n/2.$

¿Mi pregunta: podemos esperar $\||f|^{2}f\|_{H^{s}}\leq C \|f\|^{2}_{L^{\infty}} \|f\|_{H^{s}}$ $s>0, f\in H^{s}(\mathbb R)$ (donde $C$ es algo constante)? En caso afirmativo, ¿cómo probarlo?

Gracias,

Answer 1

Para $0<s<1$ esto es cierto en todas las dimensiones de la $n$, y sigue escribiendo en la norma como en la integral de la división de diferencias [Leoni, Un primer curso en espacios de Sobolev, 14.8] $$ \|f\|_{H^s}^2 \approx \|f\|_{L^2}^2+\iint\frac{|f(x)-f(y)|^2}{|x-y|^{n+2}}\,dx\,dy \etiqueta{1} $$ En efecto, (1) muestra a la vez que para cualquier función de Lipschitz $\varphi$ fijación $0$ tenemos $$\|\varphi\circ f\|_{H^s} \le C(\operatorname{Lip} \varphi)\| f\|_{H^s}\tag{2}$$ La función de $\varphi(u)= |u|^2u$ es de Lipschitz en el rango de $f$.

Para $s=1$ en la declaración también se mantiene en todas las dimensiones de la $n$, y es fácil demostrar a partir de la definición.

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En la mayor suavidad órdenes hay problemas en las dimensiones de $n>1$. Como una ilustración: la tercera derivada de $f^3$ implica $(f')^3$, por lo que estamos viendo obligados $\int |f'|^6$ en términos de $H^3$ norma de $f$. El Sobolev incrustación da un obligado en dimensiones bajas; en las cotas más elevadas se produce un error y el acotamiento de $f$ es de ninguna ayuda aquí.

Sobre este tema, consulte la Superposición en homogéneas y el vector de valores de Sobolev en espacios de Gérard Bourdaud y la encuesta de la Composición de Operadores en Espacios de funciones con fracciones de Fin de Suavidad por Bourdaud y Sickel.

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Pero en $n=1$ no hay tal problema: todos los niveles inferiores de derivados están perfectamente controlados por las derivadas de orden mayor. Para los exponentes de números enteros $s$ directa cálculo obras: el $k$th derivado de la $|f|^2 f$ se divide en un montón de términos como"$D^a f\ D^b f\ D^cf$$a+b+c=k$, y el $L^2$ normas de todos estos son controlados por el $H^k$ norma de $f$.

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Para las fracciones de los exponentes $s>1$ uno puede intentar diferenciar $\lfloor s\rfloor$ veces (de nuevo, la expansión por el producto de la regla) y, a continuación, utilizar el resultado para $s\in (0,1)$. Sin embargo, esto se ve desordenado y no estoy muy seguro de que esto funciona. Es mejor usar una caracterización similar a (1) en la que la primera diferencia $|f(x)-f(y)|$ es reemplazado por orden superior de la diferencia de $|\Delta^k f|$. A continuación, puede trabajar con $|\Delta^k (|f|^2f)|$ algebraicamente, y el palo de las estimaciones en la integral de la fórmula. Una referencia para el orden superior de la diferencia de la caracterización de los espacios de Sobolev es Integral Representaciones de Funciones y de cómo incrustar Teoremas por Besov, Il, in, Nikolski.