¿Cómo ver que el límite inverso y grupo son isomorfos?

Question

Estoy teniendo un poco de dificultad en la comprensión de un comprobante de Lang sobre el por qué de la realización y a la inversa límite de $\displaystyle \lim_{\longleftarrow}\ G/H_r$ son isomorfos. Aquí $\{H_r\}$ es una secuencia de subgrupos normales en $G$ $H_r\supset H_{r+1}$ todos los $r$.

Teorema 10.1 de La realización y a la inversa límite de $\displaystyle \lim_{\longleftarrow}\ G/H_r$ son isomorfos en la naturaleza de las asignaciones.

Prueba. Damos los mapas. Deje $x=\{x_n\}$ ser una secuencia de Cauchy. Dado $r$, para todos los $n$ lo suficientemente grande, por la definición de Cauchy de la secuencia, la clase de $x_n\mod H_r$ es independiente de $n$. Dejar que esta clase de ser $x(r)$. A continuación, la secuencia $(x(1),x(2),\dots)$ define un elemento de la matriz inversa límite. Por el contrario, dado un elemento $(\bar{x_1},\bar{x_2},\dots)$ del límite inversa, con $\bar{x_n}\in G/H_n$, vamos a $x_n$ ser un representante en $G$. A continuación, la secuencia $\{x_n\}$ es de Cauchy. Dejamos al lector a comprobar que los mapas que hemos definido inverso de isomorphisms entre la finalización y el límite inversa.

Quiero ver si estoy entendiendo este correctamente (poco probable). Por lo $x(r)$ es la clase de todos los elementos de la $y\in G$ tal que $x_ny^{-1}\in H_r$? A continuación, $(x(1),x(2),\dots)$ es un elemento, si el límite inversa como para $n\geq m$, podemos tomar $f^n_m\colon G/H_n\to G/H_m$ a ser el canónica homomorphism tal que $\bar{x_n}$ $G/H_n$ mapas a $\bar{x_n}=\bar{x_m}$ $G/H_m$ desde $H_m\supset H_n$?

También, a ver que $\{x_n\}$ es de Cauchy de $(\bar{x_1},\bar{x_2},\dots)$, sé que $f^n_m(\bar{x_n})=\bar{x_m}$ por la definición del límite inversa, por lo $\bar{x_n}=\bar{x_m}$$G/H_m$, lo $\overline{x_nx_m^{-1}}=\bar{e}\in G/H_m$, lo $x_nx_m^{-1}\in H_m$. Entonces, dado cualquier $H_r$, para $n,m\geq r$, $x_nx_m^{-1}\in H_m\subset H_r$, y $\{x_n\}$ es de Cauchy?

Pero entonces, ¿qué son exactamente los dos mapas inversos? Yo no entiendo muy bien los mapas, ya que Lang se parece a un mapa de Cauchy secuencias de $\{x_n\}$ a un elemento de la matriz inversa límite, pero la conclusión consiste en clases de equivalencia mod de las secuencias nulas, así que el valor real de Cauchy secuencias no son ni siquiera los elementos de la finalización de la $C/C_0$?

Gracias por cualquier aclaración de los detalles. He estado luchando para carne, esto por un tiempo.

Answer 1

Parece que desea comprobar ambas composiciones. Vamos a tratar de hacer uno de ellos.

Deje $\{x_n\}$ ser una secuencia de Cauchy en $G$. Enviamos esta a la secuencia de $(x(n))$ en la forma prescrita. Para volver a la finalización, para cada una de las $n$ escoger un representante de $y_n$$x(n)$$G$. Tenemos que mostrar que $\{x_n\}$ $\{y_n\}$ son iguales en la finalización, es decir, que $\{x_ny_n^{-1}\}$ es un valor nulo de la secuencia. Para comprobar esto, fijar un $r$. Hay un $N \geqq r$ tal que $n, m \geqq N$ implica $x_nx_m^{-1} \in H_r$.

La fijación arbitraria $n \geqq N$, hay un $m \geqq N$ tal que $x_mH_n = x(n)$. Así $$ f^n_r(x_mH_n) = x_mH_r = f^n_r(x(n)). $$ A partir de la condición de Cauchy, tenemos $x_mH_r = x_nH_r$. Y $y_nH_n = x(n)$ implica $$ f^n_r(y_nH_n) = y_nH_r = f^n_r(x(n)). $$ Por lo tanto $x_nH_r = y_nH_r$$n \geqq N$, lo $\{x_ny_n^{-1}\}$ es de hecho un valor nulo de la secuencia.