¿Es la propiedad de ser un espacio de producto interno una noción topológica?

Question

Deje $(E,\lVert\cdot\rVert)$ denotar una normativa espacio vectorial. Recordemos que un producto interior espacio de $E$ es un NVS con un adicional de gadget, es decir, un producto interior que induce a la norma. Pero, una NVS espacio de $E$ es una IPS si y sólo si la norma satisface la ley del paralelogramo, es decir, si para todos $x,y\in E$, $$\lVert x+y\rVert^2 + \lVert x-y\rVert^2 = 2\lVert x\rVert^2 + 2\lVert y\rVert^2$$ lo que nos permite definir un producto interior dejando $$\langle x,y\rangle = \frac12\left(\lVert x+y\rVert^2-\lVert x\rVert^2 - \lVert y\rVert^2\right).$$ Ahora, esto nos dice que el producto interior está determinada únicamente por el NVS estructura.

Podemos llevar esto más lejos? Podemos decir que el IPS estructura en $E$ es único, definido por la estructura de $E$ como un espacio vectorial topológico? O ¿existen no isomorfo del IPS que son isomorfos como espacios vectoriales topológicos?

Answer 1

Depende del sentido de la equivalencia que te importan. Existe una noción de equivalente de las normas que dice que $\|x\|_1 \equiv \|x\|_2 \iff \exists a,b \,\mathrm{where}\, a\|x\|_1 \leq \|x\|_2\leq b\|x\|_1$ es decir, que inducen la misma topología.

Si esto es todo lo que importa, entonces todos finito dimensionales normativa espacios vectoriales son equivalentes. En este caso, la norma es una noción topológica, y de hecho se induce una topología única hasta equivalencia. Sin embargo, por supuesto, hay diferentes interior de los productos que inducen a la misma norma. Para mí, el interior del producto no es una noción topológica, pero en lugar geométrico en el más estricto sentido de que se preocupa por los ángulos, ortogonalidad, etc. que no son en absoluto las nociones topológicas.

Answer 2

Parece que mi comentario es correcto, la norma en un espacio vectorial induce una métrica, y a través de eso, de una topología para el espacio vectorial. Usted puede tener muchos parámetros diferentes que inducen a la misma topología en un topológico metrizable espacio, por lo tanto, hay múltiples NVS con la misma topología.

Ver https://en.wikipedia.org/wiki/Normed_vector_spacey https://en.wikipedia.org/wiki/Metric_(matemáticas)

El teorema de caracterización de los espacios topológicos que son metrizable es https://en.wikipedia.org/wiki/Nagata%E2%80%93Smirnov_metrization_theorem