Función diferenciable para la cual la tangente en cada punto tiene infinitamente muchos puntos comunes con el gráfico

Question

Existe una función diferenciable$f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ con la siguiente propiedad: la tangente en cada punto tiene infinitamente muchos puntos en común con el gráfico

/ Editar:$f$ no lineal /

Para$\sin x^2$ tenemos esta propiedad en el punto$0$, pero es difícil imaginar que esto pueda suceder en cada punto ... Creo que la declaración es falsa, pero no tengo idea de cómo demostrarlo.

Answer 1

$e^x\sin(x)$ se encuentra con cualquier línea recta infinitamente muchas veces.

De manera más general,$f(x)g(x)$ donde$f$ tiene un crecimiento superlineal y$g$ es periódico y se alterna.

Answer 2

Vamos a considerar la función derivable $y=f(x)$ y supongamos $a$ ser cualquier punto del dominio de $f.$ $(a,f(a))$ es un punto de oi gráfica de la función. Entonces $$\dfrac{df}{dx}=\dfrac{y-f(a)}{x-a}$$ $$y=(x-a)\dfrac{df}{dx}+f(a)$$is the equation of the tangent of graph at $x=a.$
De acuerdo a su condición, queremos encontrar una función de $f$ de manera tal que, la ecuación diferencial $$f(x)=(x-a)\dfrac{df}{dx}+f(a)$$ has infinitly many solutions for all $un$ in the domain of $f.$
(Función polinomial no satisface esta ecuación a menos que sea lineal o constante.)
Puede haber una cantidad no numerable de tales funciones.
La mejor manera de demostrar que el resultado es dar un ejemplo de una función como Yves Daoust hizo.

Answer 3

Una constante$x\mapsto c, c\in\Bbb R$%.