1) Sí. Una red de isomorfismo $f:\mathcal{L}(G) \to \mathcal{L}(H)$ se llama projectivity de$G$$H$. Estos son discutidos en detalle en Roland Schmidt libro Subgrupo de celosías de grupos. Un projectivity está determinada por su acción sobre los subgrupos cíclicos (en lugar de en sus generadores, los elementos de los grupos).
Un projectivity debe asignar un grupo cíclico en un grupo cíclico: ser cíclica es una propiedad de la red de subgrupos. De manera similar a la clase de grupos finitos y la clase de local grupos finitos son conservados por projectivities.
Por ejemplo, un grupo de $G$ es un cuasi-cíclico $p$-grupo (cuasi-cíclico = cíclica o Prüfer $p$-grupo) si y sólo si el entramado de subgrupos es una cadena.
Un isomorfismo obviamente induce un projectivity, pero de manera más sutil, ciertos bijective funciones en los grupos que el tratamiento cíclico de los subgrupos bien (Teorema 1.3.1) inducir projcetivities, y un projectivity es inducida de esta manera iff al$f(\langle g \rangle) = \langle h \rangle$, $g$ $h$ tienen el mismo orden. Como Ittay Weiss se ha mencionado, este no es necesariamente el caso, como el de los grupos de primer orden.
En cierto sentido, estos son el "único" problema. Obviamente la cadena de celosías (cuasi-cíclico $p$-grupos) no dependen de la prime, por lo que cada celosía se dio cuenta de por infinitamente muchos que no son isomorfos grupos. Celosías detectar productos directos de coprime fin de subgrupos. Suzuki mostró, que mientras un grupo finito no tiene un cíclica factor directo, a continuación, sólo un número finito de otros grupos (hasta el isomorfismo) tienen el mismo subgrupo de celosía.
Esta es una encuesta de las primeras 40 páginas de este más de 500 páginas de su libro, y me he saltado algunos de los muy buenos resultados que no responden directamente a su pregunta.
2) Sí. BRECHA y Magma son los paquetes estándar para trabajar con grandes grupos finitos como $\operatorname{GL}(n,p)$. Me parece que la BRECHA es más fácil de entender y modificar, mientras que el Magma ha implementaciones más rápidas. Por ejemplo BRECHA tarda 40 segundos para encontrar el subgrupo de celosía de GL(4,2), mientras que este lleva menos de un segundo en el Magma. El Magma puede encontrar el subgrupo de celosía de GL(6,2), pero no creo que GL(7,2) es en la práctica de la gama. Magma no debe verse afectado en gran medida por el cambio en el campo de tierra, excepto por la explosión en el número real de los subgrupos; sin embargo, muchos de GAP algoritmos han exponencial de la dependencia en el campo de tierra.
Asegúrese de que usted realmente quiere la plena subgrupo de celosía antes de pedir. Es enorme.
GL(4,2) ha 48337 subgrupos en 137 clases. GL(4,3) ha 141224990 subgrupos en 3085 clases. GL(5,2) ha 54091780 subgrupos en 1411 clases conjugacy. GL(5,3) ha 10842232856355 subgrupos en 93251 clases. Ver la Enumeración de todos los subgrupos del grupo simétrico para algunos asymptotics del subgrupo de matrices de permutación.
