¿Dónde están los irracionales en este conjunto?

Question

Vamos a definir una secuencia de familias de conjuntos dentro de $[0, 1]$ intervalo:

$$ F_n= \left\{ \left(\frac{j-1}{2^n},\frac{j}{2^n}\right] \mid \forall j \in \{ 1, \cdots, 2^n\} \wedge n \in \mathbb{N} \right\} $$

Ahora, sabemos que $[0, 1] = \{0\} \cup(0, 1]$. Ahora nos va a definir un nuevo conjunto $S_n$ como sigue:

$$ S_n = \bigcup_{X \in F_n} X $$

Para mí es claro que $S_n = (0, 1]$ mientras $n$ natural número fijo, y así, contiene todos los números irracionales en $(0, 1]$. La pregunta es: ¿$S_\infty$contienen el irrationals? Es evidente que este conjunto es no vacío y contiene números racionales. Ahora las preguntas:

1. Qué $S_\infty$ pierde la irrationals?
2. Son todos racionales contenida en el conjunto de $S_\infty$?
3. Es $S_\infty = (0,1]$??

Muchas gracias de antemano!!!

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(RE)$^2$EDITAR: Permite definir $S_\infty$. Vamos a empezar definiendo $F_\infty$:

$$ F_\infty = \{ x \in (0, 1] \; | \; x \in X_j \wedge X_j \en F_n \; \text{con} \; j \leq n \; \forall n, j \in \mathbb{N} \} $$

Esto implica $F_\infty$ sería un infinito (pero contables?) partición de $(0,1]$ en distintos subconjuntos que contienen sólo un punto. Por eso, $S_\infty$ sería:

$$ S_n = \bigcup_{X \in F_\infty} X $$

Gracias @Zev Chonoles y @Asaf Karagila los útiles comentarios!

Answer 1

Ha definido un conjunto$S_n$ para cada número natural$n$; sin embargo, no ha definido un conjunto$S_\infty$ ya que$\infty$ no es un número natural.

Es un error comprensible y común suponer que realizar alguna operación o definir algún objeto para cada número natural$n$ necesariamente da como resultado una operación u objeto "limitante" cuando "$n=\infty$". Sin embargo, esto generalmente no es posible en absoluto, o es bastante sutil de hacer.

Answer 2

Recordar que si $A=B$$A\cap B=A=B$. Sólo así, si $A_n=A$ todos los $n$,$\bigcap\limits_{n\in\Bbb N}A_n=A$.

Esto no debería ser sorprendente, si $x_n=x$ todos los $n$,$\lim x_n=x$. Estamos no se sorprendió por esto en absoluto.

Lo que es supuestamente sorprendente aquí, es que la intuición que tenemos es inherentemente discontinuo, y este es el resultado de un infinito no ser intuitivo. Esperamos que cuando llegamos a infinito, nosotros hacemos "el salto" al otro lado del abismo que existe entre lo finito y lo infinito. Pero es un límite significa que sólo llega hasta el borde del abismo, en realidad, no saltando a través de. La continuidad es lo que nos ayuda a cruzar cuando las cosas son "lo suficientemente bueno". Pero no todo es continuo.

Bueno, me estoy desviando un poco en metáforas.

Volvamos a tu pregunta. Se espera que el conjunto de $S_\infty$ será un conjunto en el que ya refinado todos los intervalos, y este no es ciertamente la intersección de todos los $S_n$'s. Esto es algo más fino que el que. Parece que lo que esperamos es que $S_\infty$ será el conjunto cuyos miembros se encuentran en una intersección "a lo largo de una rama" de el árbol de los intervalos. Es decir, parece que usted espera que se $$x\in S_\infty\iff\exists f\colon\Bbb N\to\Bbb N\text{ with }f(n)<2^n,\text{ such that }\forall n,\ x\in\left(\frac{f(n)}{2^n},\frac{f(n)+1}{2^n}\right].$$

Seguro, que se puede definir de esta manera, pero apenas se nota que este es no es el límite de la secuencia de conjuntos de $S_n$, y mucho no la intersección de que la secuencia de conjuntos.

Tenga en cuenta que esto no es demasiado diferente de la común de error de la $\bigcup\Bbb Q^n$ $\Bbb{Q^N}$ son dos conjuntos distintos, y exactamente uno de ellos es incontable.