Demostrar $|e^{i\theta} -1| \leq |\theta|$

Question

Me podrían ayudar a demostrar $$ |e^{i\theta} -1| \leq |\theta| $$

Estoy estudiando la prueba de la diferenciabilidad de la Serie de Fourier, y mi libro usado este lema. ¿Cómo funciona?

Answer 1

Por el teorema fundamental del cálculo $$e^{i\theta}-1=\int_0^\theta ie^{it}\mathrm{d}t$$ Por lo tanto...

Answer 2

Pensar de esa manera : Se inicia en el punto de $1+0i$ y se mueven en el círculo unidad en un ángulo de theta. Esta desigualdad es simplemente decir que va de $1+0i$ a su punto de $e^{i\theta}$ por una línea recta está corto de lo que va moviendo a lo largo del círculo $r\theta$ (donde $r=1$ es el radio del círculo).

Answer 3

Y esto es de alguna manera una prueba sin palabras:

$z=e^{i\theta}\\ \theta= \desbordado{\displaystyle\ceño}{AB}\\ AH=sin(\theta)\\ OH=cos(\theta)\\ HB=1-cos(\theta) \\ AB=|e^{i\theta}-1| $

Answer 4

$$|e^{i\theta}-1|=|\cos\theta-1+i\sin\theta|=\sqrt{\cos^2\theta-2\cos\theta+1+\sin^2\theta}=$$

$$=\sqrt{2(1-\cos\theta)}\le|\theta|\iff 2(1-\cos\theta)\le\theta^2\iff\theta^2+2\cos\theta-2\ge0$$

Pero si ponemos

$$g(\theta):=\theta^2+2\cos\theta-2\implies g'(\theta)=2\theta-2\sin\theta\ge0$$

ya sabemos que (esperemos) que $\;|\sin\theta|\le|\theta|\;\;\;\forall\;\theta\in\Bbb R$

y, a continuación, $\;g\;$ es monótona no decreciente, y desde $\;g(0)=0\;$ conseguimos lo que queremos.

Answer 5

Un poco de arranque de cinta, sólo para jugar. Tenemos $|e^{i\theta}-1|\le|\theta|+M\theta^2 $ para algunas constantes $M$ y cualquier $\theta\in\mathbb{R}$ (por alguna razón, dependiendo de su favorito de la definición de $e^{i\theta}$; por ejemplo, porque es limitada, y la derivada en $\theta=0$ no es mayor que $1$ en valor absoluto).

Pero, a continuación, $|e^{i\theta}-1|=|e^{i\theta/2}+1||e^{i\theta/2}-1|\le 2\big(|\theta|/2+M \theta^2/4\big)= |\theta| +M \theta^2/2 $ todos los $\theta$, lo que demuestra que el infimum de las constantes de la $M$ para que la desigualdad se cumple es $M=0$, de ahí la tesis.