La generalización análoga para la conmutatividad de las uniones.

Question

Dejemos que $\{I_j\}$ sea una familia de conjuntos indexados por $J$ y que $$K=\bigcup_{j\in J}I_j$$

Entonces dejemos que $\{A_k\}$ sea una familia de conjuntos indexados por $K$ . La generalización de la ley asociativa para las uniones es que

$$\bigcup_{k\in K}A_k=\bigcup_{j\in J}\left(\bigcup_{i\in I_j}A_i \right)$$

Lo que yo interpreto es que: "Tomar el sindicato sobre $K$ , elija una $I_j \in K$ realizar la unión de todos los $A_i$ tal que $i\in I_j$ y para cada $j\in J$ unir todas estas posibles uniones para conseguir $\bigcup_{k\in K}A_k$ . Lo que esto quiere decir es que el orden en el que los $j$ y por lo tanto el $I_j$ son elegidos no tiene importancia en la unión final. Lo anterior es una generalización de $$(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$$

¿Cómo puedo encontrar la generalización análoga para $$A \cup B=B \cup A?$$

Answer 1

La conmutatividad significa simplemente que el orden de las operaciones no es importante. Se puede ver la obviedad de esta afirmación para las uniones ya que: $$x\in\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\iff\exists\lambda\in\Lambda:x\in A_\lambda$$

Ahora bien, decir que el orden no importa es decir que si desplazamos los índices (¡pero no eliminamos ningún índice!) el resultado sería el mismo. Matemáticamente esto se traduce en decir:

Si $\sigma$ es cualquier permutación del conjunto de índices $K$ entonces $$\bigcup_{k\in K}A_k=\bigcup_{k\in K}A_{\sigma(k)}$$

Una última observación es que hay que tener en cuenta que los axiomas de ZF no hablan de $A\cup B$ directamente, sino que $\bigcup\{A,B\}$ el conjunto que es la unión sobre el par $\{A,B\}$ .

En ese aspecto $\bigcup_{k\in K}A_k$ debe escribirse como $\bigcup\{A_k\mid k\in K\}$ en cuyo caso es obvio que cualquier permutación de $K$ mantiene la unión igual, ya que el conjunto sobre el que tomamos la unión sigue siendo el mismo.

Answer 2

Dejemos que $K$ sea un conjunto de índices, y $S(K)$ sea el grupo de biyecciones de $K$ a $K$ . Entonces se puede decir que para $\sigma\in S(K)$ y la familia arbitraria $\{A_k:k\in K\}$ tenemos $$ \bigcup\limits_{k\in K} A_k=\bigcup\limits_{k\in K} A_{\sigma(k)} $$

Answer 3

Intento responder a la pregunta desde el punto de vista de alguien que ha leído sólo el El libro de Halmos hasta la página 35 y no tiene otras fuentes de conocimiento sobre la Teoría de Conjuntos.

En primer lugar, vamos a hacer una comprensión más concisa de lo que estamos tratando de lograr. Es importante porque no podría averiguar la respuesta a la pregunta mencionada sobre la Ley Asociativa por mí mismo si no hubiera explicaciones en el hilo relacionado allí .

Así, las uniones fueron introducidas por el Axioma de Especificación en la Sección 4 del libro de Halmos:

$$U = \{x: x \in X \text{ for some $ X $ in $ \ de la que se ha hablado en la página web. $}\}$$ este conjunto se llama la unión de la colección $\mathfrak{C}$ de conjuntos

por lo tanto, al ser conjuntos en primer lugar, las uniones "simples" de colecciones de conjuntos no tienen una noción de orden en la que se eligen los conjuntos unificados y, por lo tanto, ninguna propiedad de conmutatividad.

La noción de conmutatividad aparece cuando Halmos introdujo la notación para el caso especial de la unión de un par de conjuntos:

$$\bigcup\{X:X \in \{A, B\}\} = A \cup B$$

y cuando usamos esa notación, se deduce de la definición que

$$ A \cup B = B \cup A $$

Aunque Halmos nos pide que generalicemos esa idea utilizando la noción de familias de conjuntos, parece atractivo detenerse ahí y, en un principio, intentar expresar simplemente la misma propiedad de conmutatividad de pares de conjuntos utilizando la noción de familias de conjuntos. Sin embargo, no parece factible, ya que la diferencia entre $A \cup B$ y $B \cup A$ es puramente notacional. Estas dos notaciones corresponden al mismo objeto de una unión de pares de conjuntos.

Así que la conmutatividad que Halmos pide que se demuestre debe ser otra cosa que el orden en que escribimos los elementos del par al que aplicamos la operación de unión.

Si seguimos leyendo la sección 4, encontraremos la forma de generalizar los pares para definir triplas (desordenadas) y, probablemente, n-tuplas como

$$\{a, b, c\} = \{a\}\cup \{b\}\cup \{c\}$$

y es aquí donde podemos encontrar un "orden" al que aplicar la noción de "conmutatividad". Parece que podemos listar los singletons en la h.r. en cualquier orden y seguir obteniendo la misma n-tupla en la h.l. siempre que el conjunto de los singletons sea el mismo. El "orden" está definido por la asociatividad izquierda de nuestro $\cup$ -para las uniones de pares.

Para confeccionar la versión generalizada a la que aspiramos, he utilizado un ejemplo similar al proporcionado por Brian M. Scott en el hilo relacionado :

$$(A_0 \cup A_1) \cup A_2 = (A_0 \cup A_2) \cup A_1 $$

la "generalización" significa que ésta y otras igualdades similares deben mantenerse siempre que el "conjunto" de los términos unificados sea $\{A_0, A_1, A_2\}$ .

Hasta el momento en que aparece la pregunta sólo hay un lugar en el que se menciona "el orden" en el libro que son conjuntos de la forma (se refiere al orden de la izquierda de las uniones de pares en nuestro ejemplo, por lo que se le da un nombre): $$OrderSet_2 = \{\{2\}, \{2, 1\}, \{2, 1, 0\}\}$$ que, por ejemplo, define el "orden" de $2-1-0$ . El elemento que es miembro de un elemento singleton $\{2\}$ es el primer elemento del "orden" definido: $2$ aplicando un procedimiento similar al conjunto de complementos relativos de otros elementos del $OrderSet_2$ con el singleton: $$OrderSet_1 = \{\{1\}, \{1, 0\}\}$$ obtenemos el siguiente elemento del orden: $1$ .

$OrderSet_2$ define el orden de las conmutaciones de forma "invertida" en el sentido de que los elementos de la misma que vienen primero corresponden a los términos unificados "externos", es decir, el orden de $$2-1-0$$ corresponde al orden de las conmutaciones: $$(A_0 \cup A_1) \cup A_2$$ Vemos que la unión de pares es una operación sobre dos argumentos, por lo que cada unión en nuestra generalización constará de sólo dos términos. Estamos utilizando la notación de familias, por lo que cada unión se representará como la unión de un rango de una familia, por lo que los términos unidos deben corresponder a los "términos" (según la terminología de Halmos al principio del capítulo), y si queremos tener dos términos en cada unión, el conjunto índice de cada familia debe contener dos elementos.

Para empezar, la unión resultante (en la l.h.s.) $(A_0 \cup A_1) \cup A_2$ que podemos denotar como $U$ o también como $U_2$ : $$U = U_2 = (A_0 \cup A_1) \cup A_2$$ es la unión de la unión denotada como $U_1$ : $$U_1 = \bigcup_{X \in S_1}X \:\text{where}\: S_1 = \{A_0, A_1\}$$ y el conjunto $A_2$ así que $$U_2 = U_1 \cup A_2$$

Podemos expresarlo en forma de familia con el dominio $I_2$ que podemos construir como formado por dos índices: $$I_2 = \{i_{A_2}, i_{U_1}\}$$ y la función (familia en la terminología de Halmos) $$X_2(i_{A_2}) = A_2 \quad X_2(i_{U_1}) = U_1$$ como: $$U_2 = \bigcup_{i \in I_2}{\{{X_2}_i\}}$$

podemos expresar $U_1$ de manera similar (por un gasto de introducción de más notación).

$U_1 = \bigcup_{X \in S_1}X$ donde $S_1 = \{A_0, A_1\}$ por lo que se puede escribir como la unión del conjunto denotado como $U_0$

$$U_0 = \bigcup_{X \in S_0}X \:\text{where}\: S_0 = \{A_0, \varnothing \}$$ y el conjunto $A_1$ así que $$U_1 = U_0 \cup A_1$$

Podemos expresarlo en forma de familia con el dominio $I_1$ que podemos construir como formado por dos índices: $$I_1 = \{i_{A_1}, i_{U_0}\}$$ y la función $$X_1(i_{A_1}) = A_1 \quad X_1(i_{U_0}) = U_0$$ como: $$U_1 = \bigcup_{i \in I_1}{\{{X_1}_i\}}$$

Por último, de forma similar, el conjunto $U_0 = \bigcup_{X \in S_0}X \:\text{where}\: S_0 = \{A_0, \varnothing \}$ puede construirse como una familia con el dominio $$I_0 = \{i_{A_0}, i_{\varnothing}\}$$ y la función $$X_0(i_{A_0}) = A_0 \quad X_0(i_{\varnothing}) = \varnothing$$ como: $$U_0 = \bigcup_{i \in I_0}{\{{X_0}_i\}}$$

Así, la construcción de una familia de conjuntos $U = U_2$ parece haber terminado. Esa familia correspondía a un orden particular de la operación de unión de pares definida por el conjunto $OrderSet_2$ de una manera que se construyó y que se puede generalizar de la siguiente manera:

si $j$ es algún "conjunto de orden" que define un orden entre los conjuntos unificados, $$U_{j} = \bigcup_{i \in I_j}\{{X_j}_i\}$$ donde $$I_j = \{{i_U}_j, {i_A}_j\}$$ donde el término $X_j({i_U}_j)$ es " $U_{j-1}$ ", que se define de forma similar a partir del conjunto de orden obtenido al eliminar el singleton y los elementos correspondientes de los otros conjuntos de $j$ en cierto modo $OrderSet_1$ se obtuvo de $OrderSet_2$ arriba, o $\varnothing$ si $j$ es el "último" conjunto de órdenes a considerar, es decir, es un singleton de un singleton.

el término $X_j({i_A}_j)$ es un elemento de un singleton de $j$ (el "primer" elemento de un orden determinado).

Utilizando esa generalización, el enunciado de la conmutatividad generalizada de las uniones puede formularse como "las uniones obtenidas por el procedimiento mencionado a partir de dos conjuntos de orden cualesquiera que definen un orden de elementos del mismo conjunto son iguales".