Si $\lim_{x \to \infty} (-1)^x$ es indefinido ...
¿Por qué $\lim_{x \to \infty} (-1/4)^x$ ¿Cero?
¿No podrías quitar el negativo para hacerlo $\lim_{x \to \infty} (-1)^x$ * $\lim_{x \to \infty} (-1/4)^x$ lo que lo haría indefinido?
¿Indefinido * 0 = indefinido o 0?
Tiene lo siguiente: deje $x\in\mathbb{N}$ entonces la secuencia $a_x$ $$ a_x:=(-1)^x $$ sólo puede tomar dos valores posibles, $a_{2x}=1, a_{2x+1}=-1$ y, por tanto, el límite no existe.
Si ahora miras la secuencia $b_x$ con $$ b_x:=(-\frac14)^x $$ entonces puedes hacer que funcione la siguiente desigualdad $$ -(\frac14)^x\leq (-\frac14)^x\leq(\frac14)^x $$ y $-(\frac14)^x, (\frac14)^x$ ambos tienden a cero a medida que $x$ va al infinito. y por lo tanto también $b_x=(-\frac14)^x $ llega a cero.
Ahora, ¿por qué no puede sacar el $(-1)^x$ de $b_x$ ? Esto se debe a que el límite no está definido. si desea $$ \lim_{x\to\infty}a_xb_x=\lim_{x\to\infty}a_x\lim_{x\to\infty}b_x $$ ambos límites en el lado derecho tienen que existir.
Una forma más fácil de ver el porqué $\lim_{x \to \infty} \left(\frac{-1}{4}\right)^x = 0$ es dividiendo continuamente $1$ por un número realmente grande para que la respuesta se acercara cada vez más a cero.
$$\lim_{x\to \infty} \left(\frac{-1}{4}\right)^x \approx \lim_{x \to \infty}\frac{\pm 1}{4^x}$$
$$\begin{align} & \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16} = 0.0625 \\ & \frac{1}{4^3} = \frac{1}{64} = 0.015625 \\ & \frac{1}{4^4} = \frac{1}{256} = 0.00390625 \\ \end{align}$$
Tan obviamente como $x$ aumenta $\frac{1}{4^x}$ disminuye, y puesto que $x \to \infty$ obviamente se obtendría un valor cercano a cero para valores muy grandes de $x$ .
$$\frac{1}{4^{100}} = \frac{1}{160\, \cdots \,5301376} = 6.22 \cdot 10^{-61} \approx 0$$
En cuanto a la parte de la división, tienes que asegurarte de que los límites no sean indefinidos para que sean iguales:
$$\begin{align} \lim_{x \to \infty} (f(x)g(x)) & = \lim_{x \to \infty} f(x) \lim_{x \to \infty} g(x) \\ & \ne (\text{undefined}) \cdot \lim_{x \to \infty} g(x) \\ & \ne \text{undefined} \\ \end{align}$$
En este caso tendríamos:
$$\begin{align} \lim_{x \to \infty} \left(\frac{-1}{4}\right)^x & \ne \lim_{x \to \infty} \left((-1)^x \cdot \left(\frac{-1}{4}\right)^x\right)\\ & \ne (\text{undefined}) \cdot \lim_{x \to \infty} \left(\frac{-1}{4}\right)^x \\ & \ne \text{undefined} \\ \end{align}$$
Por lo tanto, la factorización del $-1$ fuera de la fracción sería problemático, así que sugiero que resuelvas el límite directamente como he mostrado antes.
Buena pregunta.
Observe que está intentando hacer uso de la regla de que si $f$ y $g$ son dos funciones tales que los límites $\lim_{x\to\infty} f(x)$ y $\lim_{x\to\infty} g(x)$ existe, entonces
$$\lim_{x\to\infty} f(x)g(x) = \lim_{x\to\infty} f(x)\lim_{x\to\infty} g(x).$$
Es decir, usted quiere dividir el límite de un producto en el producto de los límites - pero en su caso, tenemos $f(x) = (-1)^x$ y $g(x) = (\frac{1}{4})^x$ y era necesario que se aplicara la norma de que ambos límites $\lim_{x\to\infty} f(x)$ y $\lim_{x\to\infty} g(x)$ existía, pero el límite para $f$ no lo hace en este caso.
En conclusión, el problema es que
$$\lim_{x\to\infty} \left(-\frac{1}{4}\right)^x \neq \lim_{x\to\infty}(-1)^x\lim_{x\to\infty}\left(\frac{1}{4}\right)^x,$$
donde la expresión de la derecha ni siquiera tiene sentido.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
5 votos
Buena pregunta: la respuesta es no. De hecho, $\lim_{x \to \infty} f(x)g(x) = \lim_{x \to \infty} f(x) \lim_{x \to \infty} g(x)$ sólo si $\lim_{x \to \infty} f(x)$ y $\lim_{x \to \infty} g(x)$ ambos existen y están definidos. En este caso, $f(x) = (-1)^{x}, g(x) = (1/4)^{x}$ .