demostrando $n!>2^n\;\;\forall \;n≥4\;$ por inducción matemática

Question

Mi maestro demostrado el siguiente$n!>2^n\;\;\;\forall \;n≥4\;$, de la siguiente manera

Base a paso: $\;\;4!=24>16$ ok

Inducción de la hipótesis: $\;\;k!>2^k$

Inducción paso: $\qquad\qquad(k+1)!=k!(k+1)>(k+1)2^k>2^k\cdot 2=2^{k+1}$

Me pregunto, ¿cómo se supone que $2^k(k+1)>2^{k}\cdot 2\quad\forall k≥4$?

No tenemos que demostrar por inducción?

Answer 1

Sólo necesitamos tomar ventaja de la prueba de hipótesis, cuando asumimos desde el principio que $k \geq 4$, así que esos son los únicos valores de $k$ que necesitan ser consideradas. Claramente, $$\forall\;k\geq 4 \implies k + 1 \geq 4 + 1 = 5 > 2$$

Aquí es donde tenemos que $$2^k \cdot \underbrace{(k + 1)}_{\large > 2} \;\gt \; 2^k \cdot 2 = 2^{k+1},\quad\text{as desired}.$$

Answer 2

Si $k \geq 4$, se deduce que el $k + 1 \geq 5 > 2$. Por lo tanto, es seguro decir que el $2^k \cdot (k + 1) > 2^k \cdot 2$.

Answer 3

Usted asume por inducción de la hipótesis de que la $k!>2^k$. También, usted tiene $k\ge 4$, por lo tanto seguramente $k+1>2$. Multiplicando $k+1> 2$ con el número positivo $2^k$, encontrará $(k+1)2^k>2^{k+1}$. Y multiplicando $k!>2^k$ con el número positivo $k+1$ encontrará $(k+1)!>(k+1)2^k$, donde junto a la reclamación $(k+1)!>2^{k+1}$.