Infinito Triple De La Suma De La

Question

El siguiente triple de la suma apareció en una reciente competencia de matemáticas en una universidad local:

$$\sum_{j,k,l\geq0} \frac{1}{3^l\left(3^{j+k}+3^{k+l}+3^{l+j}\right)}$$

Sé que la respuesta es $\frac{9}{8}$, pero no tengo ni idea de cómo proceder con el problema.

Como un apéndice, ¿cuál es la forma cerrada de la suma al $3$ es reemplazado con un entero positivo distinto de $1$?

Answer 1

Deje $$S=\sum_{i,j,k \geq 0} \frac{1}{3^i(3^{i+j}+3^{i+k}+3^{j+k})}$$

Tenga en cuenta que $$\frac{1}{3^i}+\frac{1}{3^j}+\frac{1}{3^k} = \frac{3^{i+j}+3^{i+k}+3^{j+k}}{3^{i+j+k}}$$

Por lo tanto $$3S=\sum_{i,j,k \geq 0} \frac{1}{3^{i+j+k}} = (\frac{3}{2})^3$$ por lo tanto,$S=9/8$.