Para que $n \in \mathbb N$ , ¿existe un bijection $f : \mathbb N \to \mathbb Q^n$ y una norma $\|\cdot\|$ $\mathbb R^n$ tal que $\|f(k+1)-f(k)\|=1, \forall k \in \mathbb N$ ?
Respuesta
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user15381
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Al $n= 1$, hasta un multiplicativo constante el valor absoluto es la única norma, y es fácil ver que no hay solución.
Al $n\geq 2$, sin embargo, siempre hay soluciones, si tomamos $||.||$ a ser el "max" de la norma definida por $||(x_1,x_2,\ldots,x_n)||_{\infty}=\max(|x_k|; 1\leq k \leq n)$. Tenga en cuenta que no hay solución si tomamos un irracional múltiples de esta norma, por ejemplo, $||x||=\sqrt{2}||x||_{\infty}$ (porque de esta norma, los puntos de ${\mathbb Q}^n$ son siempre irracionales distancias de unos a otros).
Una forma natural de resolver el problema es empezar con cualquier enumeración de ${\mathbb Q}^n$ y iterate (usando el axioma de elección) el siguiente procedimiento : dado cualquier punto de $a$ ${\mathbb Q}^n$ aún no enumerados por $f$, encontramos un número finito de camino entre el $a$ $b$ (donde $b$ es el último punto enumerados por $f$ hasta ahora), que consta sólo de los que todavía no enumerado por$f$ puntos, y de tal manera que la distancia entre dos puntos sucesivos en el camino siempre es $1$. Esto motiva la siguiente definición :
Definición. Deje $a,b\in{\mathbb Q}^n$. De un número finito de camino de $(v_0,v_1,\ldots,v_N)$ ${\mathbb Q}^n$ $(N,a,b)$- niza iff $v_0=a,v_N=b$$||v_{k+1}-v_k||_{\infty}=1$$0\leq k \lt N$.
El procedimiento descrito anteriormente funciona realmente, gracias a la siguiente lema :
LEMA 1. Deje $a,b\in{\mathbb Q}^n$ y deje $X$ ser cualquier subconjunto finito de ${\mathbb Q}^n$. Entonces, hay un número finito de $(N,a,b)$-niza camino de $(v_0,v_1,\ldots,v_N)$ tal que $v_k\not\in X$$1\leq k \leq N-1$.
Este lema sigue claramente de otro lexema :
LEMA 2. Deje $a,b\in{\mathbb Q}^n$. Entonces, hay un $N\in{\mathbb N}$ tal que el conjunto de todos los $(N,a,b)$-niza caminos (denota por ${\cal N}(N,a,b)$) tiene la propiedad de que la proyección de $\lbrace v_k | (v_0,v_1,\ldots,v_N) \in {\cal N}(N,a,b) \rbrace$ es infinita para $1\leq k \leq N-1$.
El uso de la concatenación y el trabajo de uno de coordinar a un tiempo, es suficiente para mostrar lema 2 cuando $a$ $b$ difieren únicamente en una de coordenadas, la primera, decir: $a_1\neq b_1$. Podemos suponer sin pérdida de ese $a_1<b_1$.
LEMA 3. Deje $a_1<b_1$$\mathbb Q$. A continuación, hay una extraña $N$ de manera tal que el conjunto ${\cal M}(N,a_1,b_1)$ de todas las secuencias $(w_0,w_1,\ldots,w_N)\in{\mathbb Q}^{N+1}$$w_0=a_1,w_N=b_1$, e $|w_{k+1}-w_k| \leq 1$ $0\leq k \lt N$ tiene la propiedad de que la proyección de $\lbrace w_k | (w_0,w_1,\ldots,w_N) \in {\cal M}(N,a,b) \rbrace$ es infinita para $1\leq k \leq N-1$.
La prueba del lema 2 (del lema 3) Para ir de $(w_0,w_1,\ldots,w_N)\in{\cal M}(N,a_1,b_1)$$(v_0,v_1,\ldots,v_N)\in{\cal N}(N,a,b)$, definir $v_k=(w_k,a_2+\frac{1+(-1)^k}{2},a_3+\frac{1+(-1)^k}{2},\ldots,a_n+\frac{1+(-1)^k}{2})$.
La prueba del lema 3. El uso de la concatenación de nuevo, y teniendo en cuenta la parte entera de la $b_1-a_1$, es suficiente para mostrar lema 3 al $|b_1-a_1| \leq 1$. En ese caso, podemos tomar la $N=3$ desde todas las $(a_1,x,b_1)$$x \in (a_1,b_1)$${\cal M}(3,a_1,b_1)$ . Esto termina la prueba.
