¿Por qué son la posición y el impulso de espacio de ejemplos de Pontryagin de la dualidad?

Question

https://en.wikipedia.org/wiki/Position_and_momentum_space

https://en.wikipedia.org/wiki/Pontryagin_duality

Estoy tratando de entender la lógica detrás de la uncertainity principio. Y como tengo entendido, se deduce matemáticamente si suponemos que la función de onda en el impulso del espacio es la transformada de Fourier de la función de onda en la posición del espacio. Traté de investigar y averiguar por qué deben ser relacionados de forma, y la única explicación que pude encontrar fue dualidad de Pontryagin.

Answer 1

Hablando prácticamente, la totalidad de la maquinaria de Pontryagin la dualidad es la forma más avanzada de lo que los físicos necesitan entender el principio de incertidumbre. Hay varias maneras de "derivar" de que el impulso de espacio en función de onda es la transformada de Fourier de la posición del espacio en función de onda, que dependen en cierta medida de su elección a partir de los postulados. Aquí está una ruta común:

Uno de partida común postulado fundamental es la conmutación de la relación de $[\hat{x}, \hat{p}] = i \hbar.$ La mayoría de la posición común-espacio de representación de este conmutación relación es $\hat{x} \to x,\ \hat{p} \to -i \hbar \frac{\partial}{\partial x}$. En esta representación, tomando el producto interior de $\langle x |$ y la ecuación $\hat{p} |p\rangle = p | p \rangle$ da la ecuación diferencial $$-i \hbar \frac{d\, \psi_p(x)}{dx} = p\, \psi_p(x),$$ que tiene solución $\psi_p(x) = \langle x | p \rangle \propto e^{(i p x)/\hbar}$. Luego de expresar una arbitraria del estado de $| \psi \rangle$ en el impulso base, podemos usar la resolución de la identidad $$ \psi(p) = \langle p | \psi \rangle = \int dx\ \langle p | x \rangle \langle x | \psi \rangle \propto \int dx\ e^{-ipx/\hbar} \psi(x),$$ que es solo la transformada de Fourier. Esto se generaliza de forma directa a las dimensiones superiores.

Por CIERTO, el hecho de que la posición del espacio y el impulso de espacio wavefunctions son las transformadas de Fourier de cada una de las otras (o, más precisamente, puede ser elegido para ser transformadas de Fourier de cada una de las otras) da algunas buenas intuición de la relación de las incertidumbres, pero no es realmente necesario para obtenerlo. Todo lo que necesita es la conmutación de la relación, tal y como explico aquí.

Answer 2

Parece que uno puede tener un poco de huevo y la gallina, la situación aquí. ¿Qué viene primero, la mecánica cuántica o la transformada de Fourier? De acuerdo a tparker la respuesta parece que se debe tomar a la mecánica cuántica como la más fundamental y la transformada de Fourier, a continuación, sigue de esto. Sin embargo, sospecho que es la otra manera alrededor.

La transformada de Fourier propiedades eran más o menos impuesta en el punto donde Planck descubrió la relación entre energía y frecuencia $E=\hbar\omega$, que se extendió más tarde a una relación entre el impulso y el vector de propagación ${\bf p}=\hbar{\bf k}$. Debido a estas relaciones, los padres de la mecánica cuántica se expandió todo en términos de ondas planas. Bueno, ondas planas forman una base ortogonal. Por lo tanto, dicha expansión se reduce a un análisis de Fourier. Como consecuencia, uno a continuación, se obtiene la incertidumbre de Heisenberg relación.

Sin embargo, se encuentra también en la mecánica cuántica de algunos de Heisenberg-el tipo de relaciones incertidumbre que no parecen seguir directamente desde una de Fourier de la relación. Por ejemplo, considere la incertidumbre de la relación asociada con la vuelta. Esto plantea la pregunta, ¿cuál es el principio subyacente que conduce a una incertidumbre relación, la cual es compartida por el análisis de Fourier?

Este principio fundamental, en mi opinión, es la noción de mutuo imparcial bases. Cualquier producto interior entre los elementos de los respectivos mutuamente imparcial bases de $\langle x|k\rangle$ da una magnitud constante, independiente de la elección de los elementos (la fase podría ser diferente). Cualquier estado con una representación particular en una base tendrá una representación en un mutuo imparcial de la base de que obedece a una Heisenberg-tipo de incertidumbre relación; el ancho en términos de una representación sería inverso proporcional a la anchura en la otra representación.

¿Qué tiene esto que ver con el análisis de Fourier? Bien, una transformada de Fourier es un vínculo entre las representaciones en dos mutuamente imparcial bases. Esto se deduce del hecho de que para estas bases de $\langle x|k\rangle=\exp(-ixk)$, lo que significa que $|\langle x|k\rangle|=constant$. Esta propiedad, que en última instancia conduce a la incertidumbre de la relación tal como la conocemos.

Answer 3

Cada incertidumbre es un reflejo de un existente fundamentales de simetría de la naturaleza. Por ejemplo, por el teorema de Noether, el tiempo de simetría conduce a la conservación de la energía, mientras que el espacio de la traducción de simetría conduce a la conservación del momento. El quantum de la reflexión de estas simetrías es el tiempo/energía y de la posición/el impulso de la incertidumbre. Mientras que el teorema de Noether se limita a sólo un par de simetrías por razones técnicas, se revela la relación entre simetrías y leyes de conservación y da una idea sobre la naturaleza de la incertidumbre.