¿Dónde proviene el término de $-2ab$ en la ley de coseno?

Question

Entiendo que en la regla del coseno, es decir $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$, la función coseno actúa para reducir el valor de $c^2$ para ángulos agudos ($\cos C>0$, $-2ab\cos C<0$) y aumentar el valor de $c^2$ para ángulos obtusos ($\cos C <0$, $-2ab\cos C > 0$). ¿Todavía me gustaria saber de donde proviene el término de $2ab$? ¿Alguna idea sobre la intuición detrás de eso?

Saludos,

Answer 1

Pueden ayudar a mi trigonograph de la ley de cosenos:

Answer 2

Basado en el teorema de Pitágoras y los Pitagóricos trigonométricas de identidad en este triángulo

tenemos $$c^2 = (a-b\cos C)^2 + (b \pecado C)^2 \\ = a^2 - 2ab \cos C + b^2\cos^2 C + b^2 \sin^2 C \\ = a^2 - 2ab \cos C + b^2$$

Answer 3

Aceptemos que $c^2=a^2+b^2$ derecho triángulo euclidiano. Para un triángulo obtuso degenerado, donde tomamos el ángulo $C\to\pi$, tenemos $c^2 \to (a+b)^2 = a^2+b^2+2ab$. Por otro lado, como $C\to0$, encontramos $c^2\to(a-b)^2 = a^2+b^2-2ab$.

Es evidente que % de la longitud $c^2$es una función del ángulo $C$ entre lados $a$ y $b$. Vemos que el $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ modula entre nuestros casos límite un proporciona cada valor en el medio.

Answer 4

En la línea real $\mathbb R$ definimos el valor absoluto de un número

$\tag 1 |x| = \sqrt{x^2}$

La distancia entre dos números cualesquiera $a$ $b$ en la línea se define como el $|a - b|$.

El teorema del binomio es útil:

$\tag 2 (a + b)^2 = a^2 + b^2 +2ab$

También tenemos

$\tag 3 |(a + b)^2| = |a + b|^2 =|a|^2 + |b|^2 \pm 2 |a||b|$

y desde $|b - a| \text{ (distance) } = |b + (-a)| = |(-a) + b|$,

$\tag 4 |b - a|^2 =|a|^2 + |b|^2 \pm 2 |a||b|$

Cuando se mueve de la línea real a $\mathbb R \times R$, queremos traer a lo largo de esta idea de la distancia. Mediante el uso de gráficos de papel y una regla, no pasará mucho tiempo antes de llegar a la conclusión de que para longitudes de segmento de línea $a$, $b$ y $c$ (a distancia), formando un triángulo en el plano que

$\tag 5 c^2 = a^2 + b^2 + \gamma a b \text{ with } -1 \le \gamma \le 1$

mejor trabajo.