Dada la transformada de Fourier se define como $$ \mathcal F[f](\omega) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-tvn} \mathrm{d}t $$ ¿cómo se podría definir una raíz cuadrada $\mathcal G$ del operador $\mathcal F$, de modo que $$ \mathcal G^2[f] = F[f] $$ Mi idea es, literalmente, tomar la raíz cuadrada de $\mathcal F$ como $$ \mathcal G[f](\omega) = \sqrt{\mathcal F[f](\omega)} = \sqrt{\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-tvn} \mathrm{d}t} = \frac{1}{\sqrt{\sqrt{2 \pi}}} \int_{-\infty}^\infty \sqrt{f(t)} e^{-\frac{tvn}{2}} \mathrm{d}t $$ Entonces el cuadrado de $\mathcal G[f]$ sería $$ \mathcal G^2[f](\omega) = \frac{1}{\sqrt{\sqrt{2 \pi}}} \frac{1}{\sqrt{\sqrt{2 \pi}}} \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \sqrt{f(t)} \sqrt{f(t')} e^{-\frac{tvn}{2}} e^{-\frac{iw t'}{2}} dt' dt $$ Pero esto no equivale a $\mathcal F[f]$ nuevo. Así que supongo que mi enfoque de, literalmente, tomar la raíz cuadrada es un poco demasiado ingenuo. Entonces, ¿cómo se podría definir la raíz cuadrada de una transformada de Fourier?
Respuestas
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La transformada de Fourier puede ser diagonalised. Que $h_n$ ser las funciones de Hermite, entonces tenemos $$ \mathcal F [h_n] = (-i) ^ n h_n. $$ por lo que una buena definición para una raíz cuadrada de la transformada de Fourier sería $$ \mathcal G [f] = f \sum_{n=0}^\infty \langle, \rangle \mathcal h_n G [h_n] = \sum_{n=0}^\infty \langle f , \rangle h_n (-i) ^ {n/2} h_n. $$ una expresión de forma cerrada puede encontrarse en las otras respuestas.
Usted tiene un operador $\mathcal{F}$ que es unitaria y satisface $\mathcal{F}^4=1$. Deje $r=e^{2\pi i/4}=i$. Definir los polinomios de $$ p_k(z) = \frac{\prod_{l=0,l\ne k}^{3}(z-r^l)}{\prod_{l=0,l\ne k}^3(r^k-r^l)}. $$ A continuación,$p_k(r^l)=\delta_{k,l}$$0 \le k,l \le 3$. Por lo tanto, $$ p_1+p_2+p_3+p_4 = 1. $$ (Esto es debido a que este tercer orden de polinomio suma es $1$ en los cuatro puntos de $r,r^2,r^3,r^4$.) Asimismo, $$ p_1(\mathcal{F})+p_2(\mathcal{F})+p_3(\mathcal{F})+p_4(\mathcal{F})=I, \\ p_k(\mathcal{F})p_l(\mathcal{F})=0,\;\; k\ne l. \\ \mathcal{F}p_k(\mathcal{F})=r^{k-1}p_k(\mathcal{F}). $$ En consecuencia, $$ \mathcal{F} = p_1(\mathcal{F})+rp_2(\mathcal{F})+r^2p_3(\mathcal{F})+r^3p_3(\mathcal{F}). $$ Por lo tanto, $$ S = p_1(\mathcal{F})+r^{1/2}p_2(\mathcal{F})+rp_3(\mathcal{F})+r^{3/2}p_4(\mathcal{F}) $$ satisface $$ S^2 = p_1(\mathcal{F})+rp_2(\mathcal{F})+r^2p_3(\mathcal{F})+r^3p_4(\mathcal{F})=\mathcal{F}. $$ Así que hay un polinomio de tercer orden en $\mathcal{F}$ que es una raíz cuadrada de $\mathcal{F}$.
Creo que lo que se busca es el Fraccional de Fourier, que es una generalización de la transformada de Fourier a la $n^{\textrm{th}}$ de la energía. Ellos son un subconjunto de la Canónica no Lineal se Transforma.
Para cualquier valor de $\alpha=\frac{\pi}{2} \cdot n$, la definición de las fracciones de la transformada de Fourier de una función $f$ es $$ \mathcal{F}_\alpha[f](u) = \sqrt{1-i\cuna(\alpha)} \cdot e^{i \pi \cuna(\alpha) u^2} \int_{-\infty}^\infty e^{-i2\pi \left(\csc(\alpha) u x - \frac{\cuna(\alpha)}{2} x^2\right)} f(x)\, \mathrm{d}x $$
Para la raíz cuadrada, llenando $\alpha=\frac{\pi}{4}$ le da: $$ \mathcal{F}_\alpha[f](u) = \sqrt{1-me} \cdot e^{i \pi u^2} \int_{-\infty}^\infty e^{-i2\pi \left(\sqrt{2} u x - \frac{1}{2} x^2\right)} f(x)\, \mathrm{d}x $$
Por múltiplos enteros de $\pi$, la cotangente y la cosecante funciones divergentes, por lo que necesita para tomar el límite en su lugar.
@Demophilus muestra probablemente la más sencilla de hacerlo, pero también se pueden añadir por ejemplo un shuffle (permutación) de los componentes de la frecuencia. Usted puede luego se hornea, en la canónica de transformación como esta:
$$SDPS^{-1}$$
Donde D es la matriz diagonal con la modificación de los valores propios, como por ejemplo @Demophilus propuesto en su respuesta. Además, necesitará $P^2 = I$. Y, por supuesto, $$(SDPS^{-1})^2 = F$$ La transformada de Fourier de la matriz.
Para demostrar que un P que existe, aquí está uno para 6 puntos de la FFT $$P = \left[\begin{array}{cccccc}0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1\\0&0&1&0&0&0\\1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0\\ 0&1&0&0&0&0\end{array}\right]$$
Este fue encontrado por inspección ocular en los valores propios. Pero sabemos que los resultados acerca de los valores propios de la transformada de Fourier en general que allanar el camino para la construcción de esta de una forma más general de la configuración.
