Dar un % de la matriz $A=\begin{bmatrix}M&B\\ B^T&0\end{bmatrix}$, donde $M\in\mathbb{R}^{n\times n}$, $B\in \mathbb{R}^{n\times m}, (m<n)$. Si sabemos que $rank(B)=m$ y para cualquier $v\neq 0$ y $v\in Null(B^T)$, es decir $B^T v=0$, tenemos $v^T Mv >0$. ¿Entonces el % de matriz $A$es invertible?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Supongamos que hay vectores $w$ y $v$ tal que\begin{equation} \begin{bmatrix} M&B\\ B^\top{}&0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} w\\ v \end{bmatrix} = \end{equation 0} desde $B^\top{}w = 0$, tenemos desde arriba,\begin{equation} 0= \begin{bmatrix} w^\top{}&v^\top{} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} M&B\\ B^\top{}&0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} w\\ v \end{bmatrix} = w ^ \top {} Mw. \end{equation} desde $w$ se encuentra en $\mathrm{Null}(B^\top{})$ y $w^\top{}Mw=0$, obtenemos $w = 0$. $Bv=0$ $B$ tiene el rango de columna completa, por lo tanto $v=0$. Podríamos conseguir $\mathrm{Null}(A)=\{0\}$, $A$ es invertible.
