Conexión entre la curvatura y longitud de arco

Question

Que $r(t)=(x(t),y(t))$ sea una curva en el plano. Podemos encontrar su longitud de arco con la fórmula $$\ell=\int \sqrt{x^\prime (t)^2+y^\prime(t)^2}dt=\int\Vert r^\prime(t)\Vert dt.$ $

También podemos encontrar la curvatura de la curva. $v(t)=r^\prime(t)$ Indica que el vector tangente, uno lo puede expresar como $$v(t)=\exp(i\theta(t))$$ getting equivalently $% $ $\kappa_r(t)=|r^{\prime\prime}(t)|=\bigg\vert \frac{d\theta}{dt}\bigg\vert=\frac{|x'y''-y'x''|}{|r^\prime(t)|^3}.$

En el caso especial de $ r(t)=(t,y(t)\, )$ obtenemos la fórmula

$$\kappa=\dfrac{|y''|}{(1+y^{'2})^{1.5}}$$

Parece que la relación entre la longitud del arco y la curvatura tiene que ser muy fuerte. ¿Puede uno express (incluso si $r(t)=(t,f(t))$) la curvatura en términos de la longitud de arco?

Answer 1

Utilizando coordenadas intrínsecas, sí. Curvatura es entonces $$\kappa=\frac{d\psi}{ds}$$ where $\psi$ is the tangential angle and $s$ es la longitud de arco.

Answer 2

Denota la rotación por $\phi$ y el arco de $t$,

$$\kappa= \frac{ d\phi}{dt}$$

Por "fuerte" que quieres decir $ natural, intrinsic, isometrically\, invariant $ etc.Estos dependen de la primera forma fundamental y por lo tanto son independientes de la distancia euclídea movimientos de traslación y rotación .. $x,y, \theta$. Pero todas las tres $ \phi,t $ y su derivado $\kappa$ son fuertes.

Ejemplos de natural ecuación se $\kappa = 1$ ( Círculo unitario ) , $\kappa = t $ ( Cornu espiral) $ ,\kappa = \cos \phi $, (la Cicloides), móvil en cualquier lugar en el $x-y$ plano, las constantes de integración se Euclidiana movimientos.

En esta notación $ \theta,\psi $ (coordenadas polares rotación alrededor del origen y el ángulo del arco con el radio vector ) son individualmente no "fuerte", sino $ \theta + \psi $ es fuerte.

EDIT 1:

Sólo ahora se me ocurre. En lugar de fuerte podríamos utilizar rígida, como la curvatura y la torsión son invariantes en todos los Euclidiana movimientos.