La notación matemática y su importancia

Question

Puedes ver cómo ha evolucionado la notación matemática durante los últimos siglos aquí .

Creo que todo el mundo aquí sabe que una mala notación puede convertir un problema por lo demás elemental en un problema difícil. Basta con intentar hacer aritmética básica con números romanos, por ejemplo.

Como programador informático, sé que en algunas situaciones la notación del lenguaje de programación juega un papel fundamental, ya que algunos algoritmos se expresan mejor en un lenguaje concreto que en otros, incluso considerando que todos tienen la misma base: Cálculo Lambda, máquinas de Turing, etc.

Los lingüistas tienen su llamada Hipótesis de Sapir-Whorf que "...sostiene que la estructura de una lengua afecta a las formas en que sus respectivos hablantes conceptualizan su mundo, es decir, su visión del mundo, o influye de otro modo en sus procesos cognitivos".

Entonces, pregunto: ¿hay algún campo en las Matemáticas que estudie la notación matemática y su influencia para bien o para mal en las propias Matemáticas?

Modificando el fragmento del párrafo anterior: ¿es posible que la notación, los símbolos y el lenguaje utilizados en Matemáticas afecten a las formas en que los Matemáticos conceptualizan su mundo e influyan en sus procesos cognitivos?

Answer 1

En otro orden de cosas, podría interesarle la obra de Mohan Ganesalingham El lenguaje de las matemáticas: Una investigación lingüística y filosófica (Springer 2013).

El autor es un destacado matemático (Senior Wrangler, nada menos), y es licenciado en lingüística, y ahora trabaja en informática. El libro se basa en una tesis premiada. Menciono estos datos por si la palabra "filosófica" del subtítulo le echa para atrás. Mohan sabe muy bien lo que hace.

Answer 2

En mi opinión, ésta es una de las apasionantes promesas de la matemática intuicionista y la teoría de los topos.

Al descartar la ley del medio excluido $\neg\neg P\implies P$ (por supuesto, podemos volver a añadirlo más tarde si queremos), mucho más de la estructura de nuestros axiomas se hace evidente en nuestros teoremas, porque ya no podemos etiquetar declaraciones arbitrarias como verdaderas o falsas.

Por ejemplo, en la teoría de los topos, ya no se habla de "los" números reales, sino de "un" objeto de números reales en un topos. Cuando el topos es $Set$ no ocurre nada especial. Pero en un escenario diferente, podemos tener un objeto de números reales contables, o subobjetos no triviales sin puntos. Tengo entendido que también hay topoi para los que toda función $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es diferenciable (lo que debería ser un alivio para los físicos que pretenden esto todo el tiempo).

Me gusta este punto de vista porque hace que ciertas propiedades de "los" números reales -su cardinalidad, por ejemplo- parezcan artefactos del lenguaje de conjuntos, que se basa en una noción firme de pertenencia. Pero como la inmensa mayoría de los números reales no pueden ser precisados en ningún sentido significativo, no es difícil argumentar que tratar $\mathbb{R}$ como conjunto es, como mínimo, una elección de perspectiva.

Y esto puede ser realmente útil: el ya clásico artículo de física cuántica ¿Qué es una cosa? ha argumentado que la norma $\mathbb{R}$ es inadecuado para las teorías no clásicas de la física. Al fin y al cabo, si el número de partículas de un sistema depende de la forma en que midamos el sistema, entonces ¿por qué deberíamos esperar cualquier cosa en el universo para comportarse como un conjunto?

Answer 3

He aquí un interesante punto de vista reciente:

Fundamentos de la Ciencia Marzo de 2014, volumen 19, número 1, pp 1-10 script y la escritura simbólica en matemáticas y filosofía natural

Maarten Van Dyck, Albrecht Heeffer

Resumen

Introducimos la cuestión de si existen tipos específicos de modalidades y prácticas de escritura que facilitaron el desarrollo de la ciencia y las matemáticas modernas. Señalamos la importancia y singularidad de la escritura simbólica, que permitió a los primeros pensadores modernos formular un nuevo tipo de preguntas sobre la estructura matemática, en lugar de limitarse a explotar esta estructura para resolver problemas concretos. En una línea muy similar, el novedoso enfoque en las relaciones estructurales abstractas permitió extensiones conceptuales creativas en la filosofía natural durante la revolución científica. Estas reflexiones preliminares pretenden sentar las bases para las siguientes contribuciones de este volumen.

Ver http://link.springer.com/article/10.1007/s10699-012-9310-y

Otro artículo reciente que tiene demasiada psicología para mi gusto pero que puede ser de su interés es el siguiente:

Enero de 2013, volumen 190, número 1, pp 3-19

Los símbolos matemáticos como acciones epistémicas

Helen De Cruz Johan De Smedt

Resumen

Recientes pruebas experimentales de la psicología del desarrollo y la neurociencia cognitiva indican que los seres humanos están equipados con habilidades matemáticas elementales no aprendidas. Sin embargo, las matemáticas formales tienen propiedades que no pueden reducirse a estas capacidades cognitivas elementales. Se plantea entonces la cuestión de cómo los seres humanos se enfrentan cognitivamente a ideas matemáticas más avanzadas. Este artículo se basa en la tesis de la mente extendida para sugerir que los símbolos matemáticos nos permiten delegar algunas operaciones matemáticas en el entorno externo. Desde este punto de vista, los símbolos matemáticos no sólo se utilizan para expresar conceptos matemáticos, sino que son constitutivos de los propios conceptos matemáticos. Los símbolos matemáticos son acciones epistémicas, porque nos permiten representar conceptos que son literalmente impensables con nuestro cerebro desnudo. Utilizando estudios de casos de la historia de las matemáticas y de la psicología de la educación, defendemos una relación íntima entre los símbolos matemáticos y la cognición matemática.

Ver http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs11229-010-9837-9