Integral compleja sobre un círculo

Question

En un ejercicio, se supone que debo asumir que $|a| < r < |b|$ y demostrar que $\displaystyle\int_{\gamma} \frac{1}{(z - a)(z - b)} dz = \frac{2 \pi i}{a - b}$ , donde $\gamma$ es un círculo de radio $r$ centrado en el origen con orientación positiva. Así que tuve la idea de expresar esta integral como $\frac{1}{a - b} \displaystyle\int_{\gamma} \frac{1}{z - a} - \frac{1}{z - b} dz$ . Luego he intentado evaluar cada una de ellas por separado, pero no sé muy bien qué hacer. Obtengo $\displaystyle\int_{0}^{2 \pi} \frac{i r e^{it}}{r e^{it} - a} dt$ para el primer trimestre. ¿Cómo voy a integrar esto? No puedo sustituir $u = re^{it}$ ¿podría hacerlo?

Answer 1

Utiliza la fórmula integral de Cauchy. Además, observa que aunque esta función tiene 2 polos, $a$ y $b$ , sólo $a$ está dentro del contorno.

Si aún no conoces la fórmula integral de Cauchy, creo que $\frac{1}{a-b}\int_\gamma \frac{1}{z-a}-\frac{1}{z-b}\ dz$ es un buen comienzo.

$\frac{1}{a-b}\int_\gamma \frac{1}{z-a}\ dz$ est $\frac{2\pi i}{a-b}$ (utilice la sustitución $w=z-a$ ). La segunda integral es cero, ya que la función es holomorfa en todas partes. En otras palabras, si utilizamos las definiciones para escribirla como una integral real más $i$ veces una integral real, tendremos campos vectoriales conservativos y así la integral alrededor de un contorno cerrado es $0$ .

Answer 2

Pista: Utiliza la fórmula integral de Cauchy.

Answer 3

Podrías dejar que $u=re^{it}-a$ y $du=rie^{it}$