Identidad recurrente enrejado elíptico constantes $\sum_{\lambda\in\Lambda\setminus0} \lambda^{-2k}$

Question

Estoy atascado en el Ejercicio 3 en estas notas. Para mantener esta pregunta autónomo: tenemos

1. $\displaystyle\Lambda=\langle\omega_1,\omega_2\rangle=\omega_1\Bbb Z+\omega_2\Bbb Z\subset\Bbb C,$

2. $\displaystyle \wp(z) =\frac{1}{z^2}+\sum_{\lambda\in\Lambda\setminus0}\left(\frac{1}{(z-\lambda)^2}-\frac{1}{\lambda^2}\right)=\frac{1}{z^2}+\sum_{k=2}^\infty(2k-1)G_{2k}z^{2k-2} ~~ (z\approx0), $

3. $\displaystyle G_k=\sum_{\lambda\in\Lambda\setminus0}\frac{1}{\lambda^k}, \quad G_{\rm odd}=0,$

4. $\dot{\wp}^2=4\wp^3-40G_4\wp-160G_6.$

(Vea el enlace para ver la prueba de $\wp$'s de la expansión de Taylor y la ecuación diferencial.) Yo quiero probar

$$(n-3)(2n+1)(2n-1)G_{2n}=\sum_{\substack{k+l=n \\ k,l\ge2}} (2k-1)(2l-1)G_{2k}G_{2l}$$

para $n\ge4$. Multiplicando ambos lados por $z^{2n}$ y sumando debería resultar en una ecuación diferencial que seguramente va a producir una ecuación difícil de manejar que implican $z,\wp,\wp^2,\dot{\wp},\ddot{\wp}$. No tengo cómo derivar este de la conocida ecuación diferencial $(4)$, o si tal vez debería probar una ruta distinta a la generación de funciones y ecuaciones diferenciales, para probar la identidad. Quizás debería aumentar la generación de la función, porque la identidad es sólo siendo probados para $n\ge4$?

Answer 1

Bien yo creo que lo tengo. Set $G_0:=-1$ $G_2:=0$ por el bien de ser capaz de escribir

$$\wp(z)=\sum_{n=0}^\infty (2n-1)G_{2n}z^{2n-2}. \tag{1}$$

Diferenciar $\dot{\wp}^2=4\wp^3-60G_4\wp-140G_6$ y luego se divide por $2\dot{\wp}$ obtener

$$\ddot{\wp}=6\wp^2-30G_4. \tag{2}$$

Enchufe $(1)$ a $(2)$, cancelar polos y términos constantes, igualar los coeficientes de obtener

$$(2n-1)(2n-2)(2n-3)G_{2n}=6\sum_{\substack{k+l=n \\ k,l\ge0}} (2k-1)(2l-1)G_{2k}G_{2l} \tag{3}$$

para $n\ge3$. Por sacar la $(n,0),(n-1,1),(1,n-1),(0,n)$ términos que hemos

$$\sum_{\substack{k+l=n \\ k,l\ge0}} (2k-1)(2l-1)G_{2k}G_{2l}=2(2n-1)G_{2n}+\sum_{\substack{k+l=n \\ k,l\ge2}} (2k-1)(2l-1)G_{2k}G_{2l} \tag{4}$$

Por lo tanto, restando $6\cdot2(2n-1)G_{2n}$ desde ambos lados de $(3)$ rendimientos

$$2(2n-1)[(n-1)(2n-3)-6]G_{2n}=6\sum_{\substack{k+l=n \\ k,l\ge2}} (2k-1)(2l-1)G_{2k}G_{2l} \tag{5}$$

Simplificando,

$$(2n-1)(2n+1)(n-3)G_{2n}=3\sum_{\substack{k+l=n \\ k,l\ge2}} (2k-1)(2l-1)G_{2k}G_{2l}.$$

(Así que en realidad no era un factor de $3$ que falta en el ejercicio de la declaración.)