La 2ª parte de "El teorema Fundamental del cálculo".

Question

La 2ª parte de "el Teorema Fundamental del Cálculo" nunca ha parecido tan temblores de tierra o como fundamentales como la primera para mí. ¿Por qué es "fundamental", quiero decir, el valor medio teorema, y el valor intermedio teoremas son ambos muy emocionante por la comparación. Y después de la feliz unión de la integración y derivados de los que encontramos en la primera parte, la 2ª parte apenas se parece como un bostezo. Así que, ¿qué me estoy perdiendo?

Para ser claro estoy hablando de esto:

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Vamos ƒ ser un valor real de la función definida en un intervalo cerrado [a, b], que admite una antiderivada de F en [a,b]. Es decir, ƒ y F son funciones tales que para todo x en [a, b],

$f(x) = F'(x)$

Si f es integrable en [a, b], entonces

$\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a).$

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He sido a través de la prueba un par de veces. Tiene sentido para mí. Pero, no me ayudan a ver la luz. A mí sólo se ve como "OK aquí es cómo hacer la integral definida." Que doesnt parece un gran problema, especialmente cuando indefinido integrales pueden ser más interesantes.

Answer 1

Es natural que el Teorema Fundamental del Cálculo tiene dos partes, ya que moralmente se expresa el hecho de que la diferenciación y la integración son mutuamente inversas de los procesos, y esto equivale a dos afirmaciones: (i) la integración y, a continuación, la diferenciación y (ii) la diferenciación y, a continuación, la integración de nos (esencialmente) de vuelta a donde empezamos.

Por otro lado, muchas personas han notado que las dos partes no son completamente independientes: por ejemplo, si $f$ es continuo, (ii) se deduce fácilmente a partir de (i). Sin embargo, discontinuas -- pero Riemann integrable -- $f$, el teorema aún se mantiene, y esto es lo que requiere un trivial argumento adicional. Consulte la página 8 de

http://math.uga.edu/~pete/243integrals1.pdf

para algunos la discusión de este punto.

Yo no puedo decir con su pregunta de cómo de lleno esta respuesta direcciones. Si sí, y usted tiene preocupaciones adicionales, por favor hágamelo saber.

Answer 2

Los nombres de "primera" y "segunda" para las dos partes de el teorema no tienen sentido. Más nombres correctos sería existencia y unicidad. También es razonable para separar la singularidad de la declaración de la fórmula relacionados con las integrales definidas para antiderivatives, que es una expresión algebraica consecuencia de la (analítica) de la singularidad de instrucción. La fórmula podría ser considerado como una tercera parte del teorema, pero la numeración de las piezas de un teorema en un orden en particular es un poco informativo de la nomenclatura -- como está llamando teoremas "fundamental".

Teorema Fundamental del cálculo afirma la existencia y unicidad de antiderivatives (soluciones de la ecuación diferencial $y' = f(x)$ con un valor dado de a $y(x_0)$ a un punto). Aparte de los puramente lógico consideraciones hay varias razones de la unicidad teorema es importante.

• Indefinida de las integrales de la forma $\int_p^x f(t) dt$, que son los que aparecen en la mayoría de las presentaciones de la existencia de la parte del teorema, en algunos casos no tienen en cuenta todos antiderivatives de $f(x)$ como el punto de base $p$ es variado a lo largo de todos los números reales.

• En la más precisa la presentación de $y(x) = y(a) + \int_a^x f(t) dt$, todavía existe la posibilidad de que otros procesos, incluso más mágica que la integración, podría estar relacionado con la anti-diferenciación. Por lo que es de interés para encontrar estas especies exóticas, o mostrar que las integrales de darlo todo.

• Un análisis explícito de la singularidad se hace más acuciante cuando la integración de funciones con las singularidades, como en $\int dx/|x|^p$ $p=1$ $p=1/2$ (el número de la integración de constantes cambios, por lo que es necesario para la escritura de fórmulas de solución en todos los casos).

• la fórmula algebraica implícita por la singularidad, $\int_a^b f = F(b)-F(a)$, es importante, tanto como un medio de informática integrales y a medida que la base de la notación de apoyo a los cambios de la integración de la variable (sustituciones).

Answer 3

Esta es la parte del Teorema fundamental que le permite calcular integrales; luego puede calcular áreas y con más teoría incluso volúmenes, superficies y así sucesivamente. ¿Emocionante lo suficiente?