¿Hay más números pares que números Impares?

Question

Una pregunta muy sencilla de "sí o no", pero no encuentro la respuesta en ningún sitio. Mi intuición dice que el número de Impares y los números pares son iguales, pero he conseguido escribir algo que contradice mi intuición. Aunque sigo pensando que mi intuición es correcta, no encuentro ningún error lógico o matemático en mi "prueba". ¿Puede alguien, por favor, revisarla y decirme cuál de ellas es la correcta?

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Declaración 1: Para cada número entero impar positivo $o$ hay un número entero par $e=o+1$ .

Declaración 2: Para cada número entero positivo $n$ hay un número entero negativo, es decir $-n$ .

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Conclusión 1: El número de enteros Impares positivos ( $O_{positive}$ ) es igual al número de enteros positivos pares ( $E_{positive}$ ). Si hay un equivalente negativo para cada entero positivo, entonces el número de enteros negativos de impar ( $O_{negative}$ ) es igual al número de enteros pares negativos ( $E_{negative}$ ). En resumen: $$O_{positive}=E_{positive}=O_{negative}=E_{negative}$$

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Declaración 3: El número cero es " neutro " (ni positivo ni negativo).

Declaración 4: El número cero es un entero par.

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Conclusión 2:

$$\begin{align} O_{total} & = O_{positive} + O_{negative} + O_{neutral} \\ & = O_{positive} + O_{negative} + 0 \\ & = O_{positive} + O_{negative} \end{align}$$

Y:

$$\begin{align} E_{total} & = E_{positive} + E_{negative} + E_{neutral} \\ & = E_{positive} + E_{negative} + 1 \\ \end{align}$$

Así que:

$$\begin{align} E_{total} & = O_{total} + 1 \\ E_{total} & > O_{total}\\ \end{align}$$

¿Verdad? Como ingeniero utilizo las matemáticas a diario, pero eso no me convierte en un matemático. Así que, por favor, sé amable :)

Answer 1

Lo primero es lo primero: hay un número infinito tanto de números pares como de números Impares.

Es importante saber que $\infty$ (infinito) no es un número. Por lo tanto, no tiene sentido hablar de la "cantidad" de números pares o Impares, o escribir afirmaciones como $E_{\rm even}+1$ porque eso es suponer que $E_{\rm even}$ es un número al que se le puede añadir sensatamente $1$ a.

Sin embargo, quizás sorprendentemente hace tiene sentido preguntar si hay más números pares que los números Impares. Es decir, se pueden comparar dos cantidades infinitas, o comparar una cantidad finita y una cantidad infinita, aunque no se puedan sumar y restar significativamente cantidades infinitas.

La forma en que definimos más , menos y lo mismo para cantidades infinitas es la siguiente. Para dos colecciones $A$ y $B$ (decir $A$ son los números pares y $B$ son los números Impares) decimos que

• Si puede asociar cada elemento de $A$ con un elemento único en $B$ y viceversa, entonces $A$ y $B$ son del mismo tamaño.

• Si puede asociar cada elemento de $A$ con un elemento único en $B$ pero no a la inversa, entonces $B$ es mayor que $A$ .

• Si puede asociar cada elemento de $B$ con un elemento único en $A$ pero no a la inversa, entonces $A$ es mayor que $B$ .

En tu caso, puedes asociar cada número par $n$ con el número impar $n+1$ y puede asociar cada número de impar $m$ con el número par $m-1$ (asumiendo que el 0 es par) por lo que hay tantos números Impares como pares.

Esto puede llevar a resultados aparentemente paradójicos, porque, por ejemplo, se puede asociar cada número entero $n$ con el número par $2n$ y todo número par $m$ con el número entero $m/2$ Por lo tanto, hay tantos números pares como números enteros, aunque los números pares son un subconjunto de los números enteros.

Answer 2

Como hay una biyección $$ f(x) = x + 1 $$ enviando cualquier número impar a un par, esto demuestra que los conjuntos tienen igual tamaño.

Aquí, asumí que los números naturales comienzan con $1$ si deben comenzar con $0$ , basta con definir la misma función sobre los números pares.

Answer 3

El único conjunto relevante de productos son los de 1(x). Este es el conjunto que te dará todos los números enteros que puedan existir, sin generar ecuaciones o productos duplicados. Entienda esto, y queda claro que hay la misma cantidad de números Impares y pares.