Dos definiciones diferentes de espacio vectorial

Question

Tengo dos libros diferentes de álgebra lineal y me he dado cuenta de que las definiciones de espacio vectorial en ellos son ligeramente diferentes.

Una de las definiciones tiene el siguiente enunciado para la condición de multiplicación escalar y la otra no:

"Para todos $a,b \in \mathbb F, u \in V$ implica $(ab)u=a(bu)$ ."

No puedo derivarlo de las otras condiciones de la definición de espacio vectorial ni puedo dar el ejemplo que satisface otras definiciones de espacios vectoriales pero no esta en particular.

http://en.wikipedia.org/wiki/Vector_space#Definition
Uno de mis libros de texto tiene la misma definición que Wikipedia. y la definición en el otro libro es la misma que esta excepto que no tiene "Para todo a,bF,uV implica (ab)u=a(bu)".

¿Podría ayudarme a averiguar si las dos definiciones son iguales o no?

Gracias de antemano.

Answer 1

Creo que el axioma de asociatividad $(ab)v = a(bv)$ (más exactamente, compatibilidad de la multiplicación escalar con la multiplicación de campos ) para ser independiente de los demás, pero por favor, compruebe mi argumento a continuación.

Consideremos el grupo aditivo $V$ de los números reales $\mathbf{R}$ .

Consideremos ahora una función biyectiva $\varphi: \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ , diferente de la identidad $1_{\mathbf{R}}$ que es un automorfismo de $\mathbf{R}$ como $\mathbf{Q}$ -y tal que $\varphi(1) = 1$ . (Hay muchos opciones para tal $\varphi$ , sólo hay que considerar una base de Hamel que contenga $1$ .)

Lo que realmente necesitamos de $\varphi$ es que $\varphi(a+b) = \varphi(a)+\varphi(b)$ para todos $a, b \in \mathbf{R}$ .

Ahora define una estructura de $\mathbf{R}$ -espacio-vectorial-sin-asociación en $V$ declarando el producto del escalar $a$ por el vector $v$ (todos los elementos de $\mathbf{R}$ por supuesto) como $$a \cdot v = \varphi(a) v,$$ donde el RHS es sólo la multiplicación habitual en $\mathbf{R}$ .

Se cumplen todos los axiomas excepto la asociatividad. El más sutil es probablemente $$(a + b) \cdot v = \varphi(a+b)v = (\varphi(a) + \varphi(b)) v = \varphi(a) v + \varphi(b) v = a \cdot v + b \cdot v.$$

Pero la asociatividad no se mantiene. De hecho, si $(a b) \cdot 1 = a \cdot (b \cdot 1)$ para todos $a, b \in \mathbf{R}$ entonces $$\varphi(ab) = \varphi(ab) 1 = \varphi(a) ( \varphi(b) 1) = \varphi(a) \varphi(b)$$ para todos $a, b \in \mathbf{R}$ .

Así que la asociatividad se mantiene si y sólo si $\varphi$ es un anillo de automorfismos de $\mathbf{R}$ . Sin embargo, el único mapa de este tipo es la identidad, y hemos elegido $\varphi \ne 1_{\mathbf{R}}$ .

PS Se puede obtener un ejemplo más sencillo sustituyendo $\mathbf{R}$ avec $\mathbf{C}$ y tomando $\varphi(a+bi)=a+2bi$ , digamos, para $a, b \in \mathbf{R}$ .

Answer 2

¡El planteamiento de abajo contiene un error! Vea si puede encontrarlo.

Parece que su libro puede haber omitido el axioma. Sin embargo, a menudo he oído la broma de que el axioma final de los espacios vectoriales es que los autores de libros de texto de Álgebra Lineal convierten cuatro axiomas en ocho. Así que, en realidad, puedes salirte con la tuya definiendo menos axiomas con más cuidado, pero sigues teniendo que aceptar básicamente que los axiomas de campo actúan sobre el espacio vectorial de la manera esperada.

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Asumiendo que se tiene el axioma de multiplicación escalar en ambas definiciones (es decir, $a\mathbf{u} \in V$ para $\mathbf{u} \in V, a \in \Bbb F$ ):

Para el caso de que sea distinto de cero $a,b \in \Bbb F$ , $$a^{-1}a(b\mathbf{u}) = b\mathbf{u}, \\ b^{-1}b\mathbf{u} = \mathbf{u}.$$ Esto se justifica sin la asociatividad. Supongamos que $b^{-1}(b\mathbf{u}) = \mathbf{w} \neq \mathbf{u}.$ Entonces, $b\mathbf{u}-b\mathbf{u} = \mathbf{0} = b\mathbf{w}-b\mathbf{u}$ por lo que por la unicidad de la inversa aditiva, $\mathbf{w} = \mathbf{u}$ .

Por lo tanto, $$b^{-1}a^{-1}a(b\mathbf{u}) = \mathbf{u}.$$

Pero, $b^{-1}a^{-1} = (ab)^{-1}$ Así que $$b^{-1}a^{-1}(ab)\mathbf{u} = (ab)^{-1}(ab)\mathbf{u} = \mathbf{u},$$

por lo que los dos son evidentemente iguales.

Answer 3

Sin la compatibilidad de la multiplicación con la multiplicación del campo, la multiplicación escalar sólo da un morfismo de grupos (abelianos) desde el grupo aditivo del campo a los endomorfismos del grupo aditivo de $V$ . Así que para un ejemplo que demuestre que esto no es suficiente, se necesita un mapa de este tipo en el que la multiplicación en el campo no corresponda a la composición de multiplicaciones escalares. El ejemplo más fácil que se me ocurre ahora mismo es en el que $V$ ya es un honesto $\mathbf R$ espacio vectorial, y se equipa con un (deshonesto) " $\mathbf C$ -estructura de espacio vectorial" al tener $z\in\mathbf C$ actúan como multiplicación escalar por el número real $\operatorname{Re}z$ . Esto satisface claramente todos los demás axiomas, pero no la compatibilidad de las estructuras multiplicativas.

Si quieres un ejemplo más pequeño, puedes hacer el mismo truco con el campo finito $\mathbf F_4$ "actuando" en un $\mathbf F_2$ -espacio vectorial, multiplicación por un elemento $\alpha\in \mathbf F_4\setminus\mathbf F_2$ siendo la multiplicación por $0$ y la multiplicación por $\alpha+1$ siendo entonces la identidad.