Creo que el axioma de asociatividad $(ab)v = a(bv)$ (más exactamente, compatibilidad de la multiplicación escalar con la multiplicación de campos ) para ser independiente de los demás, pero por favor, compruebe mi argumento a continuación.
Consideremos el grupo aditivo $V$ de los números reales $\mathbf{R}$ .
Consideremos ahora una función biyectiva $\varphi: \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ , diferente de la identidad $1_{\mathbf{R}}$ que es un automorfismo de $\mathbf{R}$ como $\mathbf{Q}$ -y tal que $\varphi(1) = 1$ . (Hay muchos opciones para tal $\varphi$ , sólo hay que considerar una base de Hamel que contenga $1$ .)
Lo que realmente necesitamos de $\varphi$ es que $\varphi(a+b) = \varphi(a)+\varphi(b)$ para todos $a, b \in \mathbf{R}$ .
Ahora define una estructura de $\mathbf{R}$ -espacio-vectorial-sin-asociación en $V$ declarando el producto del escalar $a$ por el vector $v$ (todos los elementos de $\mathbf{R}$ por supuesto) como $$ a \cdot v = \varphi(a) v, $$ donde el RHS es sólo la multiplicación habitual en $\mathbf{R}$ .
Se cumplen todos los axiomas excepto la asociatividad. El más sutil es probablemente $$(a + b) \cdot v = \varphi(a+b)v = (\varphi(a) + \varphi(b)) v = \varphi(a) v + \varphi(b) v = a \cdot v + b \cdot v.$$
Pero la asociatividad no se mantiene. De hecho, si $(a b) \cdot 1 = a \cdot (b \cdot 1)$ para todos $a, b \in \mathbf{R}$ entonces $$ \varphi(ab) = \varphi(ab) 1 = \varphi(a) ( \varphi(b) 1) = \varphi(a) \varphi(b) $$ para todos $a, b \in \mathbf{R}$ .
Así que la asociatividad se mantiene si y sólo si $\varphi$ es un anillo de automorfismos de $\mathbf{R}$ . Sin embargo, el único mapa de este tipo es la identidad, y hemos elegido $\varphi \ne 1_{\mathbf{R}}$ .
PS Se puede obtener un ejemplo más sencillo sustituyendo $\mathbf{R}$ avec $\mathbf{C}$ y tomando $\varphi(a+bi)=a+2bi$ , digamos, para $a, b \in \mathbf{R}$ .
